Які відношення радіусів двох кол перевіряють при u = 8 або r1:r2 = 9:5?

Данная задача требует вычислить отношение радиусов \(r_1\) и \(r_2\) при условии, что \(u = 8\) и \(r_1:r_2 = 9:5\).

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать одно из свойств окружностей, которое гласит: отношение радиуса \(r\) к длине окружности \(C\) равно \(\frac{r}{C} = \frac{1}{2\pi}\).

Давайте начнем с выражения для длины окружности \(C_1\) с радиусом \(r_1\):

\[C_1 = 2\pi r_1\]

Аналогично, для окружности с радиусом \(r_2\) имеем:

\[C_2 = 2\pi r_2\]

Известно, что отношение радиусов \(r_1:r_2 = 9:5\), что можно записать как \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{9}{5}\).

Теперь мы можем найти длину окружности \(C_1\) в зависимости от радиуса \(r_2\). Для этого умножим оба выражения на \(\frac{r_2}{2\pi}\):

\[C_1 = \frac{2\pi r_1}{2\pi} \cdot r_2 = r_1 \cdot r_2\]

Таким образом, мы получили выражение для длины окружности \(C_1\) через радиусы \(r_1\) и \(r_2\).

Согласно условию, \(u = 8\). Длина окружности \(C_1\) равна \(u\), поэтому:

\[C_1 = 8\]

Теперь мы можем записать уравнение:

\[r_1 \cdot r_2 = 8\]

Кроме того, мы знаем, что отношение радиусов \(r_1:r_2 = 9:5\), поэтому:

\(\frac{r_1}{r_2} = \frac{9}{5}\)

Используя эти две формулы, мы можем решить систему уравнений. Для этого умножим второе уравнение на \(r_2\):

\[r_1 = \frac{9}{5} \cdot r_2\]

Теперь подставим значение \(r_1\) в первое уравнение:

\[\frac{9}{5} \cdot r_2 \cdot r_2 = 8\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{9}{5} \cdot r_2^2 = 8\]

Умножим обе части на \(\frac{5}{9}\), чтобы избавиться от дроби:

\[r_2^2 = \frac{8 \cdot 5}{9}\]

Теперь вычислим это значение:

\[r_2^2 = \frac{40}{9}\]

Чтобы найти значение \(r_2\), возьмем квадратный корень:

\[r_2 = \sqrt{\frac{40}{9}}\]

%\[r_2 = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{9}}\] - better way

%\[r_2 = \frac{2\sqrt{10}}{3}\] - better way

\[r_2 \approx 2.108\]

Теперь мы можем найти значение \(r_1\) с помощью отношения \(r_1:r_2 = 9:5\):

\[\frac{r_1}{2.108} = \frac{9}{5}\]

Перемножим обе части уравнения на \(2.108\):

\[r_1 = \frac{9}{5} \cdot 2.108\]

%\[r_1 = \frac{9 \cdot 2.108}{5}\] - The most correct but the least understandable

%\[r_1 = \frac{19.972}{5}\] - The most correct but the least understandable

\[r_1 \approx 4.394\]

Таким образом, при условии \(u = 8\) и \(r_1:r_2 = 9:5\), отношение радиусов \(r_1\) и \(r_2\) будет примерно равно \(4.394:2.108\).