Как доказать равенство АА=ВВ1, где на рисунке 15 точки о и о1 являются центрами окружностей, АА1 и ВВ1 - касательными

Для того чтобы доказать равенство \(АА = ВВ1\) в данной задаче, мы можем воспользоваться свойствами окружностей и теоремой о касательных, связанных с окружностями.

1. Первое, что нам нужно заметить, это что точки \(А\) и \(В\) лежат на окружности с центром в точке \(о\). По определению окружности, расстояние от центра окружности до любой точки на окружности всегда одинаковое. Поэтому расстояние от точки \(о\) до точки \(А\) равно расстоянию от точки \(о\) до точки \(В\). Мы можем обозначить это расстояние как \(r\).

\[ОА = ОВ = r\]

2. Также, по определению касательной к окружности, линия \(АА1\) является касательной к окружности с центром в точке \(о\). Это означает, что линия \(АА1\) перпендикулярна к радиусу окружности, проведенному из центра окружности к точке \(А\). Точно также, линия \(ВВ1\) является касательной к окружности с центром в точке \(о1\), поэтому она перпендикулярна к радиусу окружности, проведенному из центра окружности к точке \(В\).

3. Теперь мы можем заметить, что у нас есть два прямоугольных треугольника: треугольник \(ОАА1\) с прямым углом в точке \(АА1\) и треугольник \(ОВВ1\) с прямым углом в точке \(ВВ1\). В этих треугольниках у нас есть равенство гипотенуз по определению перпендикуляров.

4. Следовательно, мы можем записать следующие уравнения:

\[\begin{align*}
ОА^2 + АА1^2 &= ОА1^2, \quad \text{(теорема Пифагора)} \\
ОВ^2 + ВВ1^2 &= ОВ1^2, \quad \text{(теорема Пифагора)} \\
ОА &= ОВ, \quad \text{(свойство окружности)}
\end{align*}\]

5. Поскольку расстояние от точки \(о\) до точки \(А\) равно расстоянию от точки \(о\) до точки \(В\) (шаг 1), и у нас также есть \(ОА = ОВ\) (шаг 4), мы можем подставить значения и получить \((ОА)^2 = (ОВ)^2\) и \((ОВ)^2 + ВВ1^2 = (ОВ1)^2\).

6. Заметим, что из равенства \((ОА)^2 = (ОВ)^2\) следует, что \((ОВ1)^2 = (ОА1)^2\), так как \((ОВ1)^2\) и \((ОА1)^2\) - это квадраты длин острых углов прямоугольных треугольников \(ОВВ1\) и \(ОАА1\) соответственно.

7. Таким образом, мы можем заключить, что \(АА1 = ВВ1\) в нашей задаче.

Таким образом, мы успешно доказали равенство \(АА = ВВ1\) посредством использования свойств окружностей и теоремы о касательных, связанных с окружностями, а также применения теоремы Пифагора для выделенных прямоугольных треугольников.