Які відношення ділять бічні сторони трикутника, якщо дві вершини прямокутника лежать на цих сторонах, а дві вершини

Для розуміння відношень, які ділять бічні сторони трикутника, спочатку розглянемо особливий випадок, коли прямокутник є квадратом. Потім ми можемо розширити цей випадок на будь-який прямокутник.

Нехай ми маємо прямокутник ABCD зі сторонами AB і AD, причому вершини прямокутника C та D лежать на бічних сторонах трикутника, а вершини А та В знаходяться на основі.

Діагоналі прямокутника паралельні до бічних сторін. Оскільки прямокутник ABCD - прямокутник, то його діагоналі взаємно перпендикулярні. Отже, AB перпендикулярна до CD, і AD перпендикулярна до BC.

Знайдемо відношення між бічними сторонами трикутника. Позначимо точку S - точку перетину діагоналей прямокутника ABCD.

Оскільки діагоналі прямокутника ABCD перпендикулярні, то ми можемо зробити наступний висновок: трикутники ABS і DAS є прямокутними трикутниками. Далі, оскільки ми знаємо, що вершина C лежить на бічній стороні BS, а вершина D лежить на бічній стороні AS, то відповідні висоти прямокутних трикутників ABS і DAS перпендикулярні до цих сторін.

Позначимо висоти прямокутного трикутника ABS як h1, а висоти прямокутного трикутника DAS як h2. Тоді з теореми Піфагора ми можемо записати наступні рівності:

AB^2 = AS^2 + BS^2,
AD^2 = AS^2 + DS^2.

Оскільки AS = h2 + h1 і BS = h2, ми можемо підставити ці значення у першу рівність:

AB^2 = (h2 + h1)^2 + h2^2.

Аналогічно, ми можемо підставити значення AS = h2 + h1 і DS = h1 у другу рівність:

AD^2 = (h2 + h1)^2 + h1^2.

Тепер ми можемо порівняти обидві рівності:

AB^2 - AD^2 = (h2 + h1)^2 + h2^2 - ((h2 + h1)^2 + h1^2)
AB^2 - AD^2 = (h2 + h1)^2 + h2^2 - (h2^2 + 2*h1*h2 + h1^2 + h1^2)
AB^2 - AD^2 = h2^2 + 2*h1*h2 + h1^2 + h2^2 - h2^2 - 2*h1*h2 - h1^2
AB^2 - AD^2 = 0.

Отже, ми отримали, що різниця квадратів довжин бічних сторін трикутника (AB^2 - AD^2) дорівнює нулю. Оскільки квадрати чисел не можуть бути від"ємними, то це означає, що AB^2 = AD^2, або ж AB = AD.

Таким чином, відношення між бічними сторонами трикутника, коли дві вершини прямокутника лежать на цих сторонах, а дві вершини розташовані на основі і діагоналі прямокутника паралельні бічним сторонам, рівне 1:1. Тобто, бічні сторони трикутника розділяються на дві рівні частини.