Які три числа утворюють геометричну прогресію, сума яких становить 65? Якщо зменшити менше з цих трьох чисел на

Давайте рассмотрим данную задачу подробно.

Пусть первое число в геометрической прогрессии будет \(a\), а знаменатель прогрессии будет \(r\). Тогда второе число будет \(ar\), а третье число будет \(ar^2\). Исходя из этой информации, мы можем записать уравнение для суммы чисел данной геометрической прогрессии:

\[a + ar + ar^2 = 65 \quad (1)\]

Затем, в соответствии с условием задачи, мы можем изменить два из этих чисел: менее из двух чисел на 1 и большее из них на 19. Пусть это будут \(a - 1\) и \(ar^2 + 19\) соответственно. Теперь у нас есть новая арифметическая прогрессия, где первое число \(a - 1\), а разность прогрессии составляет \(ar^2 + 19 - (a - 1)\) или \(ar^2 + 20 - a\).

Стало быть, мы можем записать уравнение для суммы новой арифметической прогрессии:

\[\frac{(a - 1) + (a - 1) + (ar^2 + 20 - a)}{2} \cdot 3 = 65 \quad (2)\]

В данной задаче нам нужно найти значения \(a\), \(r\) и также новую арифметическую прогрессию с заменой двух чисел.

Решим задачу пошагово:

Шаг 1: Решение уравнения (1) для нахождения значения \(a\), \(r\).

Уравнение (1) можно записать в виде \(a(1+r+r^2)=65\).

Допустим, что \(a = 1\), тогда получим квадратное уравнение:

\[1(1+r+r^2) = 65\]
\[r^2 + r - 64 = 0\]

Факторизуя полученное квадратное уравнение, получим:

\[(r - 7)(r + 9) = 0\]

Из этого следует, что \(r = 7\) или \(r = -9\).

Когда \(r = -9\), формула для прогрессии принимает вид: 1 (-9) ^ 2 = 81.

Так как у нас требуются только положительные числа, мы отбрасываем \(r = -9\).

Следовательно, мы получаем \(a = 1\) и \(r = 7\).

Шаг 2: Найдем новую арифметическую прогрессию с использованием значений \(a\) и \(r\).

Из условия задачи мы знаем, что \(a - 1\) и \(ar^2 + 19\) являются первым и третьим числами новой арифметической прогрессии.

\[a - 1 = 1 - 1 = 0\]

\[ar^2 + 19 = (1)(7^2) + 19 = 49 + 19 = 68\]

Теперь у нас есть новая арифметическая прогрессия: 0, ?, 68.

Шаг 3: Найдем второе число новой арифметической прогрессии.

Пусть второе число в новой прогрессии будет \(x\).

Так как у нас есть арифметическая прогрессия, мы можем использовать формулу для нахождения общего члена:

\[x = \frac{(0 + 68)}{2} = 34\]

Таким образом, получаем числа новой арифметической прогрессии: 0, 34, 68.

Итак, три числа, которые образуют геометрическую прогрессию с суммой 65, а после замены двух чисел становятся арифметической прогрессией, равны: 1, 7 и 13.