Які є шанси того, що серед 11 вибраних книг буде 6 книг з математики, 3 книги з фізики та 2 книги з біології

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику и применить формулу сочетаний. Шансы выбрать 6 книг из 10 книг с математикой, 3 книги из 8 книг с физикой и 2 книги из 5 книг с биологией можно выразить следующим образом:

\[
P = \frac{{C(10, 6) \cdot C(8, 3) \cdot C(5, 2)}}{{C(23, 11)}}
\]

Здесь \(C(n, r)\) обозначает количество сочетаний из n по r.

Давайте рассчитаем каждую из этих величин:

\[
C(10, 6) = \frac{{10!}}{{6! \cdot (10 - 6)!}} = \frac{{10!}}{{6! \cdot 4!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 210
\]

\[
C(8, 3) = \frac{{8!}}{{3! \cdot (8 - 3)!}} = \frac{{8!}}{{3! \cdot 5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 56
\]

\[
C(5, 2) = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5 - 2)!}} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2 \cdot 1 \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10
\]

Теперь рассчитаем общее количество сочетаний, из которых можно выбрать 11 книг из 23:

\[
C(23, 11) = \frac{{23!}}{{11! \cdot (23 - 11)!}} = \frac{{23!}}{{11! \cdot 12!}} = \frac{{23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}}{{11! \cdot (12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}} = 1352078
\]

Теперь, подставляя значения в формулу, мы можем вычислить шансы:

\[
P = \frac{{210 \cdot 56 \cdot 10}}{{1352078}} \approx 0.00122
\]

Таким образом, шансы того, что среди 11 выбранных книг будет 6 книг с математикой, 3 книги с физикой и 2 книги с биологией составляют примерно 0.122%.