Где расположена точка максимума функции y = √(4 - 4x - x^2)?

Конечно! Для решения этой задачи нам потребуется найти экстремум функции \(y = \sqrt{4 - 4x - x^2}\), а именно точку максимума. Для этого нам понадобится использовать некоторые алгоритмы дифференциального исчисления.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого возьмем корень как степень 0,5 и применим правило дифференцирования.

Производная функции \(y = \sqrt{4 - 4x - x^2}\):
\[y" = \frac{d}{dx} \sqrt{4 - 4x - x^2} = \frac{1}{2} (4 - 4x - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx} (4 - 4x - x^2)\]

Шаг 2: Найдем производную \(\frac{d}{dx} (4 - 4x - x^2)\) и упростим выражение.

\[\frac{d}{dx} (4 - 4x - x^2) = -4 - 2x\]

Шаг 3: Подставим найденное значение в формулу для производной \(y"\).

\[y" = \frac{1}{2} (4 - 4x - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-4 - 2x)\]

Шаг 4: Найдем критические точки, приравняв производную \(y"\) к нулю и решив полученное уравнение.

\[y" = 0\]
\[\frac{1}{2} (4 - 4x - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-4 - 2x) = 0\]

Обратите внимание, что при решении этого уравнения может возникнуть ограничение, так как выражение \((4 - 4x - x^2)^{-\frac{1}{2}}\) не может быть равно нулю.

Шаг 5: Решим уравнение \((4 - 4x - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-4 - 2x) = 0\).

Сначала разрешим уравнение \((4 - 4x - x^2)^{-\frac{1}{2}} = 0\). Однако, это уравнение не имеет решений, так как выражение под знаком корня не может быть равно нулю.

Теперь разрешим уравнение \(-4 - 2x = 0\).

\[-4 - 2x = 0\]
\[-2x = 4\]
\[x = -2\]

Шаг 6: Определим, является ли найденная точка \(x = -2\) максимумом или минимумом. Для этого воспользуемся второй производной.

Вторая производная функции \(y = \sqrt{4 - 4x - x^2}\):
\[y"" = \frac{d^2}{dx^2} \sqrt{4 - 4x - x^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} (4 - 4x - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx} (4 - 4x - x^2) \right)\]

Шаг 7: Найдем значение второй производной в точке \(x = -2\).

Подставим найденное значение для первой производной в формулу для второй производной \(y""\).

\[y"" = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} (4 - 4x - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-4 - 2x) \right)\]

Вычисляем производную:

\[y"" = \frac{1}{2} (4 - 4x - x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (-4 - 2x) \right)\]

\[y"" = \frac{1}{2} (4 - 4x - x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2)\]

Подставляем \(x = -2\):

\[y"" = \frac{1}{2} (4 - 4(-2) - (-2)^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2)\]

\[y"" = \frac{1}{2} (4 + 8 - 4) ^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2)\]

\[y"" = \frac{1}{2} \cdot 8^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2)\]

\[y"" = - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot (-2)\]

\[y"" = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \cdot (-2)\]

\[y"" = \frac{1}{16}\]

Шаг 8: Анализируем знак второй производной для определения типа экстремума.

Учитывая, что вторая производная \(y"" = \frac{1}{16}\) положительна, мы можем заключить, что точка \(x = -2\) представляет собой точку минимума функции \(y = \sqrt{4 - 4x - x^2}\).

Таким образом, точка максимума функции \(y = \sqrt{4 - 4x - x^2}\) не существует, но точка минимума находится при \(x = -2\).