Які розміри діагоналей паралелограма, якщо його сторони мають довжини 4 і 9 см відповідно, а кут між ними 120°?

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы, связанные с параллелограммами. В параллелограмме диагонали делятся пополам и пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ на две равные части.

Так как в задаче даны стороны параллелограмма и угол между ними, мы можем воспользоваться косинусным законом, чтобы найти длины диагоналей.

Давайте сначала обозначим стороны параллелограмма: \(a = 4\, \text{см}\) и \(b = 9\, \text{см}\).

Затем рассчитаем угол между сторонами в радианах, так как косинусный закон требует значения углов в радианах. Для этого надо перевести значение 120° в радианы. Вспоминаем соотношение: \(\text{радианы} = \frac{\pi}{180} \times \text{градусы}\). Подставляем значения и находим \(\theta\):
\[
\theta = \frac{\pi}{180} \times 120 = \frac{2\pi}{3}\, \text{рад}.
\]

Теперь можно приступить к расчету длин диагоналей. Обозначим диагонали параллелограмма как \(d_1\) и \(d_2\). Исходя из свойства параллелограмма, диагонали делятся пополам, поэтому \(d_1 = d_2\).

Для нахождения диагонали воспользуемся косинусным законом: \(d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\theta}\).

Подставляем известные значения и находим \(d\) (диагональ):
\[
d^2 = 4^2 + 9^2 - 2 \times 4 \times 9 \times \cos{\frac{2\pi}{3}}.
\]
\[
d^2 = 16 + 81 - 72 \times \cos{\frac{2\pi}{3}}.
\]
\[
d^2 = 97 - 72 \times \left( - \frac{1}{2} \right) = 97 + 36 = 133.
\]
\[
d = \sqrt{133} \approx 11.53\, \text{см}.
\]

Таким образом, каждая из диагоналей параллелограмма около 11.53 см. Оба значения диагоналей равны друг другу, так как они делятся пополам в точке пересечения.