1. Чему равна длина отрезка MN в прямоугольном треугольнике MNK с известной длиной отрезка KM равной 20 и отрезка

Очень хорошо! Позвольте мне по очереди ответить на каждый из ваших вопросов с пошаговым решением и обоснованием ответа.

1. Чтобы узнать длину отрезка MN в прямоугольном треугольнике MNK, мы можем использовать теорему Пифагора. Теорема гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение: \[KM^2 + KN^2 = MN^2.\]
Подставим известные значения: \[20^2 + 21^2 = MN^2.\]
Вычисляем: \[MN^2 = 400 + 441 = 841.\]
Чтобы найти длину отрезка MN, нам нужно извлечь квадратный корень из обоих сторон уравнения: \[MN = \sqrt{841} = 29.\]
Таким образом, длина отрезка MN равна 29.

2. Для определения длины высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника MNK, мы можем использовать следующее свойство: высота, опущенная на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на два меньших подобных прямоугольных треугольника. Высота является геометрическим медианом к острому углу гипотенузы, следовательно делит гипотенузу на две отрезка, пропорциональных друг другу и гипотенузе. Таким образом, длина высоты может быть найдена по формуле: \[h = \frac{{2 \times \text{{Площадь }} MNK}}{{MK}}.\]
Мы уже знаем, что длина гипотенузы KN равна 21, а длина катета KM равна 20. Значит, площадь прямоугольного треугольника равна: \[\text{{Площадь }} MNK = \frac{{KM \times KN}}{2} = \frac{{20 \times 21}}{2} = 210.\]
Подставляем известные значения в формулу: \[h = \frac{{2 \times 210}}{{21}} = 20.\]
Таким образом, длина высоты, опущенной на гипотенузу, равна 20.

3. Чтобы найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник MNK, мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности: \[r = \frac{{\text{{Площадь }} MNK}}{{P/2}},\]
где r - радиус окружности, P - периметр прямоугольного треугольника, а Площадь MNK есть результат, полученный в предыдущем ответе (210). Найдем периметр прямоугольного треугольника: \[P = KM + KN + MN.\]
Подставляем известные значения: \[P = 20 + 21 + 29 = 70.\]
Теперь можем найти радиус: \[r = \frac{{210}}{{70/2}} = \frac{{210}}{{35}} = 6.\]
Таким образом, радиус вписанной окружности равен 6.

4. Для нахождения радиуса окружности, описывающей прямоугольный треугольник MNK, мы можем использовать следующее свойство: радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине длины гипотенузы. Мы уже знаем, что длина гипотенузы KN равна 21, поэтому радиус окружности равен: \[R = \frac{{KN}}{2} = \frac{{21}}{2} = 10.5.\]
Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника MNK, равен 10.5.

5. Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника MNK, мы можем использовать следующую формулу: \[\text{{Площадь }} MNK = \frac{{KM \times KN}}{2}.\]
Подставляем известные значения: \[\text{{Площадь }} MNK = \frac{{20 \times 21}}{2} = 210.\]
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника MNK равна 210.

6. Для определения синуса большего острого угла в прямоугольном треугольнике MNK, мы можем использовать отношение противолежащего катета (в данном случае KM) к гипотенузе (KN). Синус угла равен: \[\sin(\angle KMN) = \frac{{KM}}{{KN}} = \frac{{20}}{{21}}.\]
Таким образом, синус большего острого угла в прямоугольном треугольнике MNK равен \(\frac{{20}}{{21}}\).

7. Для определения косинуса меньшего острого угла в прямоугольном треугольнике MNK, мы можем использовать отношение прилежащего катета (в данном случае KM) к гипотенузе (KN). Косинус угла равен: \[\cos(\angle KMN) = \frac{{KM}}{{KN}} = \frac{{20}}{{21}}.\]
Таким образом, косинус меньшего острого угла в прямоугольном треугольнике MNK равен \(\frac{{20}}{{21}}\).

8. Для определения тангенса угла, внешнего к прямоугольному треугольнику MNK, мы можем использовать отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Сначала нам нужно найти длину противолежащего катета, который будет равен KM + KN. Таким образом, противолежащий катет равен: \[MK + KN = 20 + 21 = 41.\]
Теперь мы можем найти значение тангенса угла: \[\tan(\text{{угол}}) = \frac{{KM}}{{MK + KN}} = \frac{{20}}{{41}}.\]
Таким образом, тангенс угла, внешнего к прямоугольному треугольнику MNK, равен \(\frac{{20}}{{41}}\).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам лучше понять данные задачи по геометрии. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!