Які є площі вписаного і описаного кола для трикутника зі сторонами 35 см, 44 см і

Для решения данной задачи, сначала найдем площадь вписанного круга.

Чтобы найти радиус вписанного круга, воспользуемся формулой для радиуса окружности, вписанной в треугольник:

\[ r = \dfrac{2S}{a+b+c} \]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

Для нашего треугольника с длинами сторон 35 см, 44 см и \(x\) см мы можем найти площадь \(S\) по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

где \(p\) - полупериметр треугольника, вычисляется из суммы длин сторон, деленной на 2:

\[ p = \dfrac{a+b+c}{2} \]

С учетом этого, мы можем выразить радиус вписанного круга:

\[ r = \dfrac{2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a+b+c} \]

Теперь найдем площадь описанного круга.

Радиус описанной окружности является радиусом окружности, описанной вокруг треугольника. Для нахождения радиуса описанной окружности мы можем использовать формулу:

\[ R = \dfrac{abc}{4S} \]

где \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, \(S\) - площадь треугольника.

Теперь мы можем найти площади вписанного и описанного кругов.

Площадь вписанного круга вычисляется по формуле:

\[ A_{в} = \pi r^2 \]

А площадь описанного круга вычисляется по формуле:

\[ A_{о} = \pi R^2 \]

Теперь, когда у нас есть все формулы, можем приступить к решению задачи.

Подставим значения сторон треугольника в формулу для радиуса вписанного круга:

\[ r = \dfrac{2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a+b+c} \]

\[ p = \dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{35 \, \text{см} + 44 \, \text{см} + x \, \text{см}}{2} = \dfrac{79 \, \text{см} + x \, \text{см}}{2} \]

\[ r = \dfrac{2 \sqrt{\left(\dfrac{79+x}{2}\right)\left(\dfrac{79+x}{2}-35\right)\left(\dfrac{79+x}{2}-44\right)\left(\dfrac{79+x}{2}-x\right)}}{79+x+35} \]

\[ r = \dfrac{2 \sqrt{\left(\dfrac{79+x}{2}\right)\left(\dfrac{79+x}{2}-35\right)\left(\dfrac{79+x}{2}-44\right)\left(\dfrac{79-x}{2}\right)}}{114+x} \]

Теперь можем подставить значения сторон треугольника в формулу для радиуса описанного круга:

\[ R = \dfrac{abc}{4S} \]

\[ R = \dfrac{35 \cdot 44 \cdot x}{4 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \]

\[ R = \dfrac{35 \cdot 44 \cdot x}{4 \sqrt{\left(\dfrac{79+x}{2}\right)\left(\dfrac{79+x}{2}-35\right)\left(\dfrac{79+x}{2}-44\right)\left(\dfrac{79+x}{2}-x\right)}} \]

Теперь, когда у нас есть значения радиуса вписанного и описанного кругов, можем найти их площади.

Площадь вписанного круга:

\[ A_{в} = \pi r^2 \]

Площадь описанного круга:

\[ A_{о} = \pi R^2 \]

Подставим значения радиуса вписанного и описанного кругов в соответствующие формулы и вычислим площади.