Докажите, что четырехугольник mnkp является параллелограммом и найдите его диагонали, основываясь на координатах

Чтобы доказать, что четырехугольник \(mnkp\) является параллелограммом, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

1. Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{mn}\) и \(\overrightarrow{kp}\):
\[\overrightarrow{mn} = (2-(-6), 5-1) = (8, 4)\]
\[\overrightarrow{kp} = (-4-4, -5-(-1)) = (-8, -4)\]

2. Также найдем координаты векторов \(\overrightarrow{mp}\) и \(\overrightarrow{nk}\):
\[\overrightarrow{mp} = (-4-(-6), -5-1) = (2, -6)\]
\[\overrightarrow{nk} = (4-2, -1-5) = (2, -6)\]

3. Теперь проверим, равны ли противоположные стороны.
Векторы \(\overrightarrow{mn}\) и \(\overrightarrow{kp}\) имеют одинаковые координаты и, следовательно, их длины равны:
\(\|\overrightarrow{mn}\| = \|\overrightarrow{kp}\| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)

То же самое можно сказать и о векторах \(\overrightarrow{mp}\) и \(\overrightarrow{nk}\), так как их координаты совпадают и их длины равны:
\(\|\overrightarrow{mp}\| = \|\overrightarrow{nk}\| = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\)

4. Найдем координаты середины отрезков \(\overline{mk}\) и \(\overline{np}\), которые будут являться диагоналями четырехугольника.
Середина отрезка \(\overline{mk}\):
\[(x_{mk}, y_{mk}) = \left(\frac{x_m + x_k}{2}, \frac{y_m + y_k}{2}\right) = \left(\frac{-6 + 4}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}\right) = (-1, 0)\]

Середина отрезка \(\overline{np}\):
\[(x_{np}, y_{np}) = \left(\frac{x_n + x_p}{2}, \frac{y_n + y_p}{2}\right) = \left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + (-5)}{2}\right) = (-1, 0)\]

Оба полученных значения равны и равны точке \((-1, 0)\), что говорит о том, что найденные отрезки \(\overline{mk}\) и \(\overline{np}\) имеют общую середину.

5. Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника \(mnkp\) равны и параллельны, а также, что диагонали четырехугольника пересекаются в общей середине \((-1, 0)\).

Поэтому четырехугольник \(mnkp\) является параллелограммом, и его диагонали пересекаются в точке \((-1, 0)\).