Які довжини катетів прямокутного трикутника, якщо його периметр становить 40 см, а гіпотенуза має довжину 17

Для решения данной задачи, мы можем использовать теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть \(a\) и \(b\) - длины катетов прямоугольного треугольника, а \(c\) - длина гипотенузы.

Теорема Пифагора имеет вид:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Из задачи нам известны следующие данные:

Периметр треугольника равен 40 см:

\[a + b + c = 40\]

Длина гипотенузы составляет 17 см:

\[c = 17\]

Теперь мы можем использовать уравнение периметра для нахождения значения катетов.

\[a + b + 17 = 40\]

Вычитаем 17 из обеих сторон:

\[a + b = 23\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} a + b = 23\\ a^2 + b^2 = 17^2 \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему используя метод подстановки или метод сложения и вычитания. В данном случае, мы воспользуемся методом подстановки.

Из первого уравнения выразим \(a\) через \(b\):

\[a = 23 - b\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[(23 - b)^2 + b^2 = 289\]

Раскроем скобки:

\[23^2 - 2 \cdot 23 \cdot b + b^2 + b^2 = 289\]

Упростим:

\[529 - 46b + 2b^2 = 289\]

Приравняем уравнение к 0:

\[2b^2 - 46b + 240 = 0\]

Разделим все члены на 2:

\[b^2 - 23b + 120 = 0\]

Теперь, нам нужно решить это уравнение. Мы можем применить факторизацию:

\[(b - 8)(b - 15) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения для \(b\): \(b = 8\) или \(b = 15\).

Подставим каждое значение \(b\) в первое уравнение, чтобы найти соответствующее значение \(a\):

При \(b = 8\):
\[a + 8 = 23\]
\[a = 15\]

При \(b = 15\):
\[a + 15 = 23\]
\[a = 8\]

Таким образом, мы получили две возможные длины катетов: \(a = 15\) см и \(b = 8\) см, или \(a = 8\) см и \(b = 15\) см.

Теперь давайте найдем площадь этого треугольника. Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times a \times b\]

Подставим полученные значения \(a\) и \(b\):

При \(a = 15\) и \(b = 8\):
\[S = \frac{1}{2} \times 15 \times 8\]
\[S = 60\]

При \(a = 8\) и \(b = 15\):
\[S = \frac{1}{2} \times 8 \times 15\]
\[S = 60\]

Таким образом, площадь этого треугольника составляет 60 квадратных сантиметров.