Каков интервал увеличения функции y=5(x+1/3)2?

Чтобы определить интервал увеличения функции \(y = 5(x + \frac{1}{3})^2\), мы должны понять, когда функция возрастает. Функция возрастает, если производная функции положительна. Обратите внимание, что производная функции позволяет нам выяснить её скорость роста.

Для начала, найдем производную функции \(y = 5(x + \frac{1}{3})^2\). Производная показывает, как изменяется функция по отношению к переменной \(x\). Для нашей функции можно применить правило степенной функции и правило цепной функции. Рассмотрим эти шаги:

1. Применим правило степенной функции: если у нас есть функция вида \(f(x) = ax^n\), где \(a\) и \(n\) - константы, то производная будет равна \(f"(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}\).

Поэтому, для нашей функции \(y = 5(x + \frac{1}{3})^2\), мы должны применить правило степенной функции и умножить на 2, так как \(n = 2\):

\[y" = 2 \cdot 5 \cdot (x + \frac{1}{3})^{2-1}\]

2. Применим правило цепной функции: мы заметим, что внутри скобок функция имеет вид \(x + \frac{1}{3}\), и это можно рассматривать как функцию \(g(x) = x\) и \(\frac{1}{3}\) добавленное к ней. Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций.

Итак, производная части \(x\) будет равна 1, а производная доли \(\frac{1}{3}\) будет равна 0, так как это константа. Тогда производная функции \(y = 5(x + \frac{1}{3})^2\) будет:

\[y" = 2 \cdot 5 \cdot (1 + 0) = 10\]

Теперь мы имеем производную функции \(y = 10\), которая определяет ее скорость роста. Так как производная положительная и постоянная, это означает, что функция \(y = 5(x + \frac{1}{3})^2\) возрастает на всей области определения.

Таким образом, интервал увеличения функции \(y = 5(x + \frac{1}{3})^2\) равен \((- \infty, + \infty)\), то есть функция возрастает на всей числовой прямой.