Как выразить ctg a/2 с помощью: tg a и

Для решения данной задачи, давайте вспомним определение тригонометрических функций и вспомним, как связаны функции тангенса и котангенса.

Котангенс (ctg) — это обратная функция к тангенсу (tg), то есть ctg a = 1/tg a.

Теперь мы хотим выразить ctg a/2 с помощью tg a и tg a/2. Для этого воспользуемся тригонометрическими формулами наполовину угла.

Тригонометрические формулы наполовину угла:

1. \( tg(a/2) = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{1 + \cos a}} \)

2. \( \cos(a/2) = \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}} \)

Теперь приступим к решению задачи:

1. Подставим в формулу (2) значение cos(a/2):

\[
\cos(a/2) = \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}
\]

2. Возведем полученное уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[
\cos^2(a/2) = \frac{1+\cos a}{2}
\]

3. Разложим tg a/2 по формуле:

\[
tg(a/2) = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{1 + \cos a}}
\]

4. Возведем полученное уравнение в квадрат:

\[
tg^2(a/2) = \frac{1 - \cos a}{1 + \cos a}
\]

5. Разделим уравнение tg(a/2)^2 = (1 - cos a)/(1 + cos a) на уравнение cos(a/2)^2 = (1+cos a)/2:

\[
\frac{tg^2(a/2)}{cos^2(a/2)} = \frac{(1 - \cos a)/(1 + \cos a)}{(1+\cos a)/2}
\]

6. Заметим, что наше уравнение превратилось в:

\[
tg^2(a/2) = \frac{2(1 - \cos a)}{1 + \cos a}
\]

7. Распишем в формуле ctg a = 1/tg a и заменим tg a на обратное ему значение:

\[
ctg a/2 = \frac{1}{{tg a/2}} = \frac{1}{{\sqrt{\frac{2(1-\cos a)}{1+\cos a}}}}
\]

8. Упростим полученное выражение:

\[
ctg a/2 = \frac{{1+\cos a}}{{\sqrt{{2(1-\cos a)}}}}
\]

Таким образом, мы выразили ctg a/2 с помощью tg a и cos a. Надеюсь, это решение ясно и понятно для школьника. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, задавайте!