Сможете показать, что значение выражения (a-b) (a-b-8) + 16 всегда неотрицательно, независимо от значения переменной?

Конечно! Я могу показать, что значение выражения \((a-b) (a-b-8) + 16\) всегда неотрицательно, независимо от значения переменной.

Давайте начнем с алгебраического доказательства. Разложим данное выражение:

\((a-b) (a-b-8) + 16 = (a^2 - 2ab + b^2 - 8a + 8b) + 16\)

Полученное выражение можно упростить, скомбинировав подобные слагаемые:

\((a^2 - 2ab + b^2 - 8a + 8b) + 16 = a^2 - 2ab + b^2 - 8a + 8b + 16\)

Далее, проведем группировку слагаемых:

\((a^2 - 2ab + b^2) + (-8a + 8b) + 16\)

Заметим, что первая группа слагаемых \((a^2 - 2ab + b^2)\) является квадратным трехчленом, а вторая группа \((-8a + 8b)\) является линейным трехчленом.

Для квадратного трехчлена \((a^2 - 2ab + b^2)\) справедливо следующее соотношение: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).

Теперь заменим первую группу слагаемых:

\((a - b)^2 + (-8a + 8b) + 16\)

Далее, проведем еще одну группировку:

\((a - b)^2 + (-8a + 8b) + 16 = (a - b)^2 + 8(b - a) + 16\)

Заметим, что у нас есть два слагаемых, в которых мы выносим общий множитель:

\((a - b)^2 - 8(a - b) + 16\)

Снова проведем группировку:

\((a - b)^2 - 8(a - b) + 16 = (a - b)^2 - 8(a - b) + 16^1 + 16^2 - 16^1\)

Теперь сократим подобные слагаемые:

\((a - b)^2 - 8(a - b) + 16^1 + 16^2 - 16^1 = (a - b)^2 - 8(a - b) + 16\)

Итак, получили \( (a - b)^2 - 8(a - b) + 16\). Это квадратный трехчлен. Заметим, что квадратный трехчлен можно представить в виде суммы квадрата и произведения двух равных чисел:

\((a - b)^2 - 8(a - b) + 16 = (a - b - 4)^2\)

Таким образом, независимо от значения переменной \(a\) и \(b\), значение выражения \((a-b) (a-b-8) + 16\) всегда будет равно квадрату разности между \(a\) и \(b\) с добавлением сдвига на 4 влево и возведением в квадрат. Поскольку квадрат числа всегда неотрицателен, а прибавление 16 не меняет знака, мы можем заключить, что данное выражение всегда неотрицательно.

Надеюсь, это доказательство помогло вам понять, почему значение выражения всегда неотрицательно.