Яка з наведених нерівностей є вірною для всіх дійсних значень змінної? Вкажіть, будь ласка. а) Чи виконується

Давайте решим каждую из данных неравенств по очереди и узнаем, какие из них выполняются для всех действительных значений переменной.

a) Для решения неравенства \(x^2 - 14x + 49 > 0\), мы можем использовать метод приведения квадратного трехчлена к каноническому виду. Сначала найдем вершину параболы, заданной этим квадратным трехчленом. Формула вершины параболы имеет вид: \(x = -\frac{b}{2a}\). В данном случае \(a = 1\) и \(b = -14\), поэтому \(x = -\frac{-14}{2 \cdot 1} = 7\). Зная координаты вершины параболы, мы можем понять, в каких интервалах функция \(x^2 - 14x + 49\) больше нуля.

Поскольку коэффициент при \(x^2\) равен 1 и является положительным числом, парабола открывается вверх. Также, так как вершина параболы находится выше оси абсцисс (поскольку вертикальная координата вершины равна 7), это означает, что функция \(x^2 - 14x + 49\) положительна в интервалах \((-\infty, 7)\) и \((7, +\infty)\).

Следовательно, неравенство \(x^2 - 14x + 49 > 0\) выполняется для всех действительных значений переменной \(x\).

б) Чтобы решить неравенство \(-3x^2 + x + 2 \leq 0\), мы можем использовать метод факторизации. Приведем его к каноническому виду, так как это позволит нам легче определить интервалы значений, удовлетворяющие неравенству. Факторизуем квадратный трехчлен: \(-3x^2 + x + 2 = -(x+2)(3x-1)\).

Проверим знаки внутри каждого множителя. Для \((x+2)\) и \((3x-1)\) получим следующую информацию:

- \((x+2)\) будет положительным, когда \(x > -2\), и отрицательным, когда \(x < -2\).
- \((3x-1)\) будет положительным, когда \(x > \frac{1}{3}\), и отрицательным, когда \(x < \frac{1}{3}\).

Теперь объединим эту информацию, чтобы определить интервалы, удовлетворяющие неравенству \(-3x^2 + x + 2 \leq 0\). Мы ищем такие значения x, для которых либо оба множителя отрицательны, либо оба множителя равны нулю (чтобы удовлетворять равенству).

- Если оба множителя отрицательны, то неравенство будет выполняться в интервалах \((-\infty, -2)\) и \(\left[\frac{1}{3}, +\infty\right)\), так как в этих интервалах оба множителя будут отрицательными, а умножение двух отрицательных чисел даёт положительный результат.

- Если оба множителя равны нулю, то неравенство будет выполняться в точке \(x = -2\) и \(x = \frac{1}{3}\), так как в этих точках оба множителя будут равны нулю, и умножение нуля на что-либо даёт ноль или меньше нуля.

Таким образом, неравенство \(-3x^2 + x + 2 \leq 0\) выполняется в интервалах \((-\infty, -2]\) и \(\left[\frac{1}{3}, +\infty\right)\), а также в точках \(x = -2\) и \(x = \frac{1}{3}\).

в) Для неравенства \(x^2 - 3x + 4 > 0\), мы снова можем использовать метод приведения квадратного трехчлена к каноническому виду. Вычислим значение вершины параболы по формуле \(x = -\frac{b}{2a}\). В данном случае \(a = 1\) и \(b = -3\), поэтому \(x = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}\). Зная координаты вершины параболы, мы можем определить интервалы значений, для которых функция \(x^2 - 3x + 4\) больше нуля.

Поскольку коэффициент при \(x^2\) равен 1 и является положительным числом, парабола открывается вверх. Также, так как вершина параболы находится выше оси абсцисс (поскольку вертикальная координата вершины равна \(\frac{3}{2}\)), это означает, что функция \(x^2 - 3x + 4\) положительна в интервалах \((-\infty, \frac{3}{2})\) и \((\frac{3}{2}, +\infty)\).

Следовательно, неравенство \(x^2 - 3x + 4 > 0\) выполняется для всех действительных значений переменной \(x\).

г) Чтобы решить неравенство \(-x^2 + 7x - 10 < 0\), мы снова можем использовать метод факторизации. Приведем его к каноническому виду: \(-x^2 + 7x - 10 = -(x-2)(x-5)\).

Проверим знаки внутри каждого множителя. Для \((x-2)\) и \((x-5)\) получим следующую информацию:

- \((x-2)\) будет положительным, когда \(x > 2\), и отрицательным, когда \(x < 2\).
- \((x-5)\) будет положительным, когда \(x > 5\), и отрицательным, когда \(x < 5\).

Теперь объединим эту информацию, чтобы определить интервалы, удовлетворяющие неравенству \(-x^2 + 7x - 10 < 0\). Мы ищем такие значения \(x\), для которых оба множителя положительны, чтобы удовлетворять неравенству.

Неравенство \(-x^2 + 7x - 10 < 0\) будет выполняться в интервале \(2 < x < 5\), так как в этом интервале оба множителя будут положительными, а умножение двух положительных чисел даёт положительный результат.

Таким образом, неравенство \(-x^2 + 7x - 10 < 0\) выполняется для значений \(x\), находящихся в интервале \(2 < x < 5\).

Итак, из всех данных неравенств, только ответы a) и c) верны для всех действительных значений переменной.