Яка з наведених нерівностей є вірною для всіх дійсних значень змінної? Вкажіть, будь ласка. а) Чи виконується

Давайте решим каждую из данных неравенств по очереди и узнаем, какие из них выполняются для всех действительных значений переменной.

a) Для решения неравенства $x^2-14x+49>0$, мы можем использовать метод приведения квадратного трехчлена к каноническому виду. Сначала найдем вершину параболы, заданной этим квадратным трехчленом. Формула вершины параболы имеет вид: $x=-\frac{b}{2a}$. В данном случае $a=1$ и $b=-14$, поэтому $x=-\frac{-14}{2\cdot 1}=7$. Зная координаты вершины параболы, мы можем понять, в каких интервалах функция $x^2-14x+49$ больше нуля.

Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 и является положительным числом, парабола открывается вверх. Также, так как вершина параболы находится выше оси абсцисс (поскольку вертикальная координата вершины равна 7), это означает, что функция $x^2-14x+49$ положительна в интервалах $(-\mathrm{\infty },7)$ и $(7,+\mathrm{\infty })$.

Следовательно, неравенство $x^2-14x+49>0$ выполняется для всех действительных значений переменной $x$.

б) Чтобы решить неравенство $-3x^2+x+2\le 0$, мы можем использовать метод факторизации. Приведем его к каноническому виду, так как это позволит нам легче определить интервалы значений, удовлетворяющие неравенству. Факторизуем квадратный трехчлен: $-3x^2+x+2=-(x+2)(3x-1)$.

Проверим знаки внутри каждого множителя. Для $(x+2)$ и $(3x-1)$ получим следующую информацию:

- $(x+2)$ будет положительным, когда $x>-2$, и отрицательным, когда $x<-2$.
- $(3x-1)$ будет положительным, когда $x>\frac{1}{3}$, и отрицательным, когда $x<\frac{1}{3}$.

Теперь объединим эту информацию, чтобы определить интервалы, удовлетворяющие неравенству $-3x^2+x+2\le 0$. Мы ищем такие значения x, для которых либо оба множителя отрицательны, либо оба множителя равны нулю (чтобы удовлетворять равенству).

- Если оба множителя отрицательны, то неравенство будет выполняться в интервалах $(-\mathrm{\infty },-2)$ и $[\frac{1}{3},+\mathrm{\infty })$, так как в этих интервалах оба множителя будут отрицательными, а умножение двух отрицательных чисел даёт положительный результат.

- Если оба множителя равны нулю, то неравенство будет выполняться в точке $x=-2$ и $x=\frac{1}{3}$, так как в этих точках оба множителя будут равны нулю, и умножение нуля на что-либо даёт ноль или меньше нуля.

Таким образом, неравенство $-3x^2+x+2\le 0$ выполняется в интервалах $(-\mathrm{\infty },-2]$ и $[\frac{1}{3},+\mathrm{\infty })$, а также в точках $x=-2$ и $x=\frac{1}{3}$.

в) Для неравенства $x^2-3x+4>0$, мы снова можем использовать метод приведения квадратного трехчлена к каноническому виду. Вычислим значение вершины параболы по формуле $x=-\frac{b}{2a}$. В данном случае $a=1$ и $b=-3$, поэтому $x=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}$. Зная координаты вершины параболы, мы можем определить интервалы значений, для которых функция $x^2-3x+4$ больше нуля.

Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 и является положительным числом, парабола открывается вверх. Также, так как вершина параболы находится выше оси абсцисс (поскольку вертикальная координата вершины равна $\frac{3}{2}$), это означает, что функция $x^2-3x+4$ положительна в интервалах $(-\mathrm{\infty },\frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2},+\mathrm{\infty })$.

Следовательно, неравенство $x^2-3x+4>0$ выполняется для всех действительных значений переменной $x$.

г) Чтобы решить неравенство $-x^2+7x-10<0$, мы снова можем использовать метод факторизации. Приведем его к каноническому виду: $-x^2+7x-10=-(x-2)(x-5)$.

Проверим знаки внутри каждого множителя. Для $(x-2)$ и $(x-5)$ получим следующую информацию:

- $(x-2)$ будет положительным, когда $x>2$, и отрицательным, когда $x<2$.
- $(x-5)$ будет положительным, когда $x>5$, и отрицательным, когда $x<5$.

Теперь объединим эту информацию, чтобы определить интервалы, удовлетворяющие неравенству $-x^2+7x-10<0$. Мы ищем такие значения $x$, для которых оба множителя положительны, чтобы удовлетворять неравенству.

Неравенство $-x^2+7x-10<0$ будет выполняться в интервале $2<x<5$, так как в этом интервале оба множителя будут положительными, а умножение двух положительных чисел даёт положительный результат.

Таким образом, неравенство $-x^2+7x-10<0$ выполняется для значений $x$, находящихся в интервале $2<x<5$.

Итак, из всех данных неравенств, только ответы a) и c) верны для всех действительных значений переменной.