Яка ймовірність того, що двоцифрове число, вибране випадковим чином, буде ділитися націло?

Давайте разберемся с этой задачей. Чтобы найти вероятность того, что двухзначное число, выбранное случайно, будет делиться нацело, нам нужно подсчитать количество двухзначных чисел, которые делятся нацело, и разделить его на общее количество двухзначных чисел.

Для начала определим, какие двухзначные числа вообще могут делиться нацело. Как вы наверняка знаете, чтобы число делилось нацело, оно должно делиться без остатка на делитель. Так как мы рассматриваем двухзначные числа, то делитель также должен быть двухзначным числом.

Всего существует 90 двухзначных чисел (от 10 до 99). Разделим их на три случая, чтобы понять, какие числа из них делятся нацело.

Первый случай: двухзначные числа, в которых оба разряда равны нулю (такие числа как 10, 20, 30 и так далее). Всего таких чисел 9 (от 10 до 90 с шагом 10). Но так как ноль не является делителем ни для какого числа, эти числа не могут делиться нацело.

Второй случай: двухзначные числа, в которых один разряд равен нулю (такие числа, как 10, 20, 30 и так далее, плюс числа, где ноль стоит на втором месте, такие числа, как 01, 02, 03 и так далее). Всего таких чисел 18 (9 первых чисел плюс 9 чисел со вторым разрядом, равным нулю). Но так как ноль не является делителем ни для какого числа, нам нужно вычесть из этого количества числа, в которых ноль стоит на втором месте. Таких чисел оказывается 9. Например, 20 делится нацело на 2, но 02 не делится нацело на 2. Таким образом, 18 - 9 = 9 чисел из этой группы могут делиться нацело.

Третий случай: двухзначные числа, в которых оба разряда не равны нулю. Очевидно, что каждое такое число имеет два нечетных делителя (кроме случаев, когда это число - квадрат некоторого простого числа). Например, число 15 делится нацело на 3 и на 5. Таким образом, для каждого двухзначного числа этой группы вероятность деления нацело будет равна 2/9. Поскольку всего таких чисел 72 (90 - 18), и каждое из них имеет вероятность 2/9, то общая вероятность для этой группы чисел составит 72 * (2/9) = 16.

Теперь сложим вероятности для каждой группы чисел: 0 + 9 + 16 = 25.

Итак, вероятность того, что двухзначное число, выбранное случайно, будет делиться нацело, равна 25/90. Мы можем упростить эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который является 5: 5/18.

Таким образом, искомая вероятность равна 5/18.