Яка висота конуса, якщо його твірна дорівнює 8 см і утворює кут 30° з висотою?

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать геометрические свойства конусов.

Пусть \(h\) - искомая высота конуса, \(l\) - твёрдая, \(r\) - радиус основания, \(s\) - образующая, и \(\alpha\) - угол между высотой и образующей конуса.

Первое, что мы можем использовать, это теорему синусов в треугольнике со сторонами \(r\), \(s\) и \(\alpha\). Согласно этой теореме, мы можем выразить образующую через угол \(\alpha\):
\[
\frac{s}{\sin(\alpha)} = \frac{r}{\sin(90- \alpha)}
\]

Так как \(h\) является высотой, он образует прямой угол с основанием конуса. Поэтому у нас есть треугольник прямоугольный треугольник между \(h\), \(l\) и \(s\).

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, мы можем написать:
\[
s^2 = h^2 + l^2
\]

Теперь, с учетом того, что в условии задачи уже указаны некоторые значения, подставим \(s = 8\) и \(\alpha = 30\) в первую формулу:
\[
\frac{8}{\sin(30)} = \frac{r}{\sin(90-30)}
\]

Вычисляем значение синусов углов:
\[
\frac{8}{\frac{1}{2}} = \frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
\]

Упрощаем:
\[
16 = \frac{2r}{\sqrt{3}}
\]

Умножаем на \(\sqrt{3}\):
\[
16\sqrt{3} = 2r
\]

Деля обе части на 2, получаем:
\[
8\sqrt{3} = r
\]

Таким образом, радиус основания конуса равен \(8\sqrt{3}\) см.

Теперь, найдем высоту \(h\) с помощью второй формулы:
\[
8^2 = h^2 + 8^2\sqrt{3}^2
\]

Упрощаем:
\[
64 = h^2 + 192
\]

Вычитаем 192 из обеих частей:
\[
h^2 = -128
\]

Поскольку квадраты не могут быть отрицательными, мы видим, что у нас нет решения для этой задачи. Таким образом, в данном случае, высота конуса не может быть рассчитана.

Обоснование: У нас получилось отрицательное значение для \(h^2\), что противоречит геометрическим свойствам конуса, где высота всегда должна быть неотрицательным числом. Таким образом, результатом является отсутствие решения для данной задачи.