Яка висота конуса, якщо радіус його основи дорівнює 12 і кут вершина осьового перерізу становить 120°?

Для решения данной задачи нам необходимо использовать основные свойства конуса и тригонометрии. Давайте посмотрим на то, как мы можем найти высоту конуса.

Когда мы имеем конус, круг, на котором основан конус, является основанием, а прямая линия, проходящая через вершину конуса и перпендикулярная к плоскости основания, является высотой конуса. В данной задаче, нам известен радиус основания конуса, который составляет 12, и угол вершины осесимметричного сечения, который составляет 120°.

Для начала нам нужно разделить конус на две половины вдоль его оси симметрии. Таким образом, получаем два равнобедренных треугольника, образующих угол в 60° на основании.

Когда угол между основанием и высотой равен 60°, то соответствующий треугольник имеет специальное свойство, называемое "30-60-90". В таком треугольнике соотношение между длинами его сторон следующее: соответствующая длина гипотенузы равна удвоенной длине катета, примыкающего к 30° углу.

Теперь вернемся к нашей задаче. У нас есть равнобедренный треугольник с углом в 60° на основании и радиусом основания, равным 12. Мы хотим найти высоту этого треугольника, которая в то же время будет высотой нашего конуса.

Используя специальные свойства "30-60-90" треугольника, мы можем вычислить длину высоты. Для этого нам нужно найти катет, примыкающий к 30° углу, и удвоить его.

Так как угол вершины осесимметричного сечения равен 120°, то у нас есть три равнобедренных треугольника. Мы можем рассматривать одну половину конуса, которая содержится между 120° углом и осью конуса.

В этом случае, угол на основании треугольника (или 60°) делится пополам и становится углом в 30°. Радиус основания (или 12) становится катетом примыкающим к 30° углу.

Следовательно, длина высоты будет равна \(12 \times 2 = 24\).

Таким образом, высота данного конуса составляет 24 единицы длины.