Каковы площадь и длина стороны ромба ABCD, если его диагонали равны 13см и 9см, а высота составляет 5см?

Чтобы найти площадь и длину стороны ромба ABCD, мы можем использовать следующий подход:

1. Рассматриваемый ромб ABCD представляет собой параллелограмм, в котором диагонали пересекаются в точке O и разбивают ромб на 4 одинаковых треугольника.

2. Мы знаем, что диагонали ромба ABCD равны 13 см и 9 см. Обозначим диагонали как d1 = 13 см и d2 = 9 см.

3. Диагонали ромба разбивают его на 4 одинаковых треугольника, и треугольник AOB будет наиболе интересовать нам для решения нашей задачи:

a. Высота треугольника AOB является перпендикуляром, опущенным из вершины O на сторону AB. Мы знаем, что высота равна 5 см.

b. Пусть точка H будет серединой стороны AB и точкой пересечения высоты с основанием треугольника.

c. Так как H является серединой стороны AB, то AH = HB.

d. Треугольник AHB является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны AB.

4. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AHB с гипотенузой диагонали d1 = 13 см и катетом 5 см получаем:

\[AH^2 + HB^2 = AB^2\]

Если AH = HB, то можем заменить выражение на:

\[2(AH)^2 = AB^2\]

Тогда:

\[2(AH)^2 = d1^2\]

\[2(AH)^2 = 13^2\]

\[2(AH)^2 = 169\]

\[AH^2 = \frac{169}{2}\]

\[AH = \sqrt{\frac{169}{2}}\]

\[AH = \frac{13\sqrt{2}}{2}\]

Из этого следует, что длина стороны AB равна \(\frac{13\sqrt{2}}{2}\) см.

5. Чтобы найти площадь ромба ABCD, мы можем использовать формулу площади для параллелограмма:

\[Площадь = d1 \cdot d2 \cdot \sin(\theta)\]

Где d1 и d2 - длины диагоналей, а \(\theta\) - угол между диагоналями.

Так как в ромбе ABCD угол между диагоналями равен 90 градусам, то \(\sin(90^\circ) = 1\).

Значит площадь ромба ABCD равна:

\[Площадь = 13 \cdot 9 \cdot 1 = 117\] (квадратные сантиметры)

Таким образом, площадь ромба ABCD равна 117 квадратных сантиметров, а длина стороны AB равна \(\frac{13\sqrt{2}}{2}\) см.