Яка відстань між площинами АВВ1 і DDC1 в прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 зі сторонами AD=a, AB=b та AA1=c?

Чтобы найти расстояние между плоскостями АВВ1 и DDC1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, мы можем использовать формулу для расстояния между параллельными плоскостями.

Формула гласит:
\[d = \frac{{|h|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

где d - расстояние между плоскостями, h - расстояние между параллельными плоскостями (высота параллелепипеда, перпендикулярная плоскости), A, B и C - коэффициенты плоскости, вычисляемые таким образом:

1. Найдем векторы нормалей плоскостей АВВ1 и DDC1.
Вектор нормали для плоскости АВВ1 вычисляется как векторное произведение векторов AB и AB1.
Вектор нормали для плоскости DDC1 вычисляется как векторное произведение векторов DD1 и DC.

Вектор AB (a, 0, 0) и вектор AB1 (0, b, 0).

Вектор DD1 (0, 0, c) и вектор DC (0, b, 0).

Для плоскости АВВ1 нормальный вектор будет (0, 0, ab).

Для плоскости DDC1 нормальный вектор будет (0, -bc, 0).

2. Подставим координаты нормальных векторов в формулу плоскости, чтобы найти коэффициенты A, B и C для каждой плоскости:

Для плоскости АВВ1: A = 0, B = 0, C = ab.

Для плоскости DDC1: A = 0, B = -bc, C = 0.

3. Теперь найдем высоту параллелепипеда h, которая перпендикулярна плоскостям и является расстоянием между ними. Высоту можно рассчитать как разницу между координатами вершин противоположных плоскостей. В данном случае, это расстояние между плоскостями A1B1C1D1 и ABCD.

Высота h = |c - 0| = c.

4. Теперь мы готовы подставить значения в формулу расстояния между плоскостями:

\[d = \frac{{|c|}}{{\sqrt{{0^2 + (-bc)^2 + (ab)^2}}}}\]

Рассчитаем значения величины под знаком радикала:

\[0^2 + (-bc)^2 + (ab)^2 = 0 + b^2c^2 + a^2b^2 = b^2c^2 + a^2b^2\]

Теперь подставим все значения в формулу:

\[d = \frac{{|c|}}{{\sqrt{{b^2c^2 + a^2b^2}}}}\]

Мы получили окончательное выражение для расстояния между плоскостями АВВ1 и DDC1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1. Выражение может быть упрощено еще дальше, если нам известны значения a, b и c.