Яка сума перших семи членів геометричної прогресії (bn) зі знаменником q, якщо перший член b1 становить 192

Добрый день!

Согласно заданию, у нас есть геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 192\) и знаменателем \(q\). Нам нужно найти сумму первых семи членов этой прогрессии.

Для начала, давайте найдем второй член прогрессии. Второй член можно найти умножив первый член на знаменатель:

\[b_2 = b_1 \cdot q\]
\[b_2 = 192 \cdot q\]

Затем найдем третий член прогрессии, умножив второй член на знаменатель:

\[b_3 = b_2 \cdot q\]
\[b_3 = 192 \cdot q \cdot q\]

Продолжая этот процесс, мы можем найти любой член прогрессии, зная предыдущий член и знаменатель. Например, чтобы найти четвертый член, мы умножаем третий член на знаменатель:

\[b_4 = b_3 \cdot q\]
\[b_4 = 192 \cdot q \cdot q \cdot q\]

Мы можем заметить, что каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на знаменатель \(q\). Таким образом, n-ый член прогрессии можно найти следующим образом:

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

Теперь мы можем приступить к нахождению суммы первых семи членов прогрессии. Обозначим эту сумму как \(S_7\).

\[S_7 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7\]
\[S_7 = 192 + 192 \cdot q + 192 \cdot q \cdot q + 192 \cdot q \cdot q \cdot q + 192 \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q + 192 \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q + 192 \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q\]

Мы видим, что каждое слагаемое в сумме представляет собой \(192\) умноженное на \(q\) в какой-то степени. Можно заметить, что каждый член выражения образуется умножением \(192\) на \(q\) несколько раз.

Мы можем сгруппировать подобные члены, чтобы получить более компактную формулу:

\[S_7 = 192(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6)\]

Мы получили сумму первых семи членов геометрической прогрессии в компактной форме. Решение в шагах приведено ниже:

Шаг 1: Найти второй член прогрессии: \(b_2 = b_1 \cdot q = 192 \cdot q\)
Шаг 2: Найти третий член прогрессии: \(b_3 = b_2 \cdot q = 192 \cdot q \cdot q\)
Шаг 3: Найти четвертый член прогрессии: \(b_4 = b_3 \cdot q = 192 \cdot q \cdot q \cdot q\)
Шаг 4: Найти n-ый член прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)
Шаг 5: Найти сумму первых семи членов прогрессии: \(S_7 = 192(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6)\)

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь и задавайте их!