Яка площа трапеції, в яку вписано коло і ділить її більшу бічну сторону на відрізки 4 см і

Задача о площади трапеции, в которую вписано круг и которая разделяет ее большую боковую сторону на отрезки 4 см и \(d\) см может быть решена пошагово следующим образом:

1. Пусть \(ABCD\) - трапеция, где стороны \(AB\) и \(DC\) являются параллельными основаниями, а стороны \(AD\) и \(BC\) - боковыми сторонами. Пусть \(O\) - центр вписанного круга, \(E\) - точка касания круга с стороной \(AB\), и \(F\) - точка касания круга с стороной \(DC\).

2. Поскольку трапеция \(ABCD\) вписана в круг, то отрезки \(OE\) и \(OF\) являются радиусами этого круга и, следовательно, равны между собой.

3. Согласно свойству вписанного угла, угол \(AEB\) равен половине угла \(AOB\). Поскольку отрезки \(OE\) и \(OF\) равны, то уголы \(EOB\) и \(FOB\) также равны между собой.

4. Теперь рассмотрим треугольник \(EOB\). Он прямоугольный, поскольку угол \(EOB\) равен 90 градусов (построен по горизонтальной прямой и радиусу круга). При этом из равенства углов следует, что треугольник \(EOB\) равнобедренный, поскольку \(EO = BO\).

5. Используя свойства равнобедренного треугольника \(EOB\), мы можем найти длину отрезка \(EB\). Поскольку отрезки \(AB\) и \(DC\) являются параллельными и \(EB\) является высотой трапеции, мы можем сказать, что отрезок \(EB\) делит боковую сторону \(AD\) на два отрезка: \(EB = 4 \, \text{см}\) и \(BD = d \, \text{см}\).

6. Из теоремы Пифагора для треугольника \(EBD\) получаем:
\[EB^2 + BD^2 = ED^2\]
\[(4 \, \text{см})^2 + d^2 = EO^2\]
\[16 \, \text{см}^2 + d^2 = EO^2\]

7. Из свойств равнобедренного треугольника \(EOB\) мы знаем, что \(EO = OB\), а значит \(EO = \frac{d}{2} \, \text{см}\). Следовательно, мы можем записать уравнение:
\[16 \, \text{см}^2 + d^2 = \left(\frac{d}{2} \, \text{см}\right)^2\]

8. Раскрывая скобки и упрощая уравнение, получаем:
\[16 \, \text{см}^2 + d^2 = \frac{d^2}{4}\]
\[64 \, \text{см}^2 = \frac{d^2}{4}\]

9. Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
\[256 \, \text{см}^2 = d^2\]

10. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значение \(d\):
\[d = \sqrt{256} \, \text{см}\]

11. Мы знаем, что \(\sqrt{256} = 16\), поэтому:
\[d = 16 \, \text{см}\]

12. Получили, что \(d = 16 \, \text{см}\). Теперь мы можем найти площадь трапеции с использованием формулы для площади трапеции:
\[S = \frac{(AB + DC) \cdot h}{2}\]
\[S = \frac{(4 \, \text{см} + 16 \, \text{см}) \cdot d}{2}\]
\[S = \frac{20 \, \text{см} \cdot 16 \, \text{см}}{2}\]
\[S = 160 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь трапеции равна 160 квадратных сантиметров.