Если площади кругов относятся как 1:25 и радиус одного круга равен 6, то каков радиус второго круга?

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать формулу площади круга, которая записывается следующим образом: \[S = \pi r^2\]

У нас есть информация о том, что площади кругов относятся как 1:25. Давайте обозначим радиус первого круга как \(r_1\) и его площадь как \(S_1\), а радиус второго круга как \(r_2\) и его площадь как \(S_2\).

Мы можем записать заданное соотношение площадей в виде: \[\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{25}\]

Теперь мы можем записать формулу площади для первого круга: \[S_1 = \pi r_1^2\]

И формулу площади для второго круга: \[S_2 = \pi r_2^2\]

Подставим выражения для площадей в заданное соотношение: \[\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{1}{25}\]

Сократим общий множитель \(\pi\): \[\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{1}{25}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака деления: \[(r_1^2)^2 = (r_2^2)^2 \cdot \frac{1}{25}\]

Упростим выражение: \[r_1^4 = \frac{r_2^4}{25}\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы найти радиус второго круга \(r_2\): \[r_1^2 = \frac{r_2^2}{5}\]

Умножим обе части уравнения на 5: \[5r_1^2 = r_2^2\]

Извлекая корень, получаем: \[r_2 = \sqrt{5r_1^2}\]

Мы знаем, что радиус первого круга \(r_1\) равен 6, поэтому подставим это значение в уравнение: \[r_2 = \sqrt{5 \cdot 6^2}\]

Произведем необходимые вычисления: \[r_2 = \sqrt{5 \cdot 36}\]

Упростим выражение: \[r_2 = \sqrt{180}\]

И, наконец, вычислим значение: \[r_2 \approx 13.42\]

Таким образом, радиус второго круга составляет примерно 13.42.