Яка площа ромба, якщо його сторона має довжину 25 см та сума його діагоналей?

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для нахождения площади ромба. Перед тем, как перейти к формуле, давайте вспомним основные свойства ромба.

Свойства ромба:
1. Все стороны ромба равны между собой.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

Теперь, чтобы найти площадь ромба, нам необходимо знать длину его стороны и сумму его диагоналей.

1. Определим длину стороны ромба:
В условии задачи сказано, что длина стороны ромба равна 25 см.

2. Найдем длину диагонали ромба:
Для этого воспользуемся свойством ромба, согласно которому диагонали ромба делятся пополам. Таким образом, получим два прямоугольных треугольника.

По теореме Пифагора, квадрат длины диагонали можно выразить через половину длины стороны ромба и длину другой диагонали:
\[длина_диагонали^2 = \frac{1}{4} длина_стороны^2 + \frac{1}{4} длина_другой_диагонали^2\]

Так как оба треугольника являются прямоугольными и одинаковыми, то длины диагоналей также равны. Обозначим длину диагонали ромба как d.

Подставим известные значения в уравнение:
\[d^2 = \frac{1}{4} \cdot 25^2 + \frac{1}{4} \cdot d^2\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[d^2 = \frac{625}{4} + \frac{d^2}{4}\]
\[d^2 - \frac{d^2}{4} = \frac{625}{4}\]
\[\frac{3d^2}{4} = \frac{625}{4}\]

Упростим уравнение, умножив обе части на \(\frac{4}{3}\):
\[d^2 = \frac{625}{3}\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
\[d = \sqrt{\frac{625}{3}}\]

После вычисления получаем \(d \approx 22.06\) см (округленно до двух знаков после запятой).

3. Найдем площадь ромба:
Теперь, когда у нас есть значение диагонали ромба, можно воспользоваться формулой для нахождения площади ромба.

Формула для нахождения площади ромба:
\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\]

Подставим известные значения:
\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 22.06\]

После вычисления получаем \(Площадь \approx 275.75\) см² (округленно до двух знаков после запятой).

Таким образом, площадь ромба составляет примерно 275.75 квадратных сантиметров.