What is the equivalence of the logarithmic equation 2log^2 (base 0.3) x -7 log (base 0.3) x-4 = 0 in a different form?

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с переписывания данного уравнения в более удобной форме:
\[2(\log_{0.3}x)^2 - 7\log_{0.3}x - 4 = 0.\]

2. Для упрощения выражения, введем новую переменную, скажем, \(u = \log_{0.3}x\). Теперь уравнение примет вид:
\[2u^2 - 7u - 4 = 0.\]

3. Следующим шагом будем решать эту квадратную трехчленную уравнение. Для этого можно использовать формулу дискриминанта или метод факторизации. В данном случае, мы воспользуемся формулой дискриминанта.

Дискриминант \(\Delta\) квадратного трехчленного уравнения \(au^2 + bu + c = 0\) вычисляется по формуле: \(\Delta = b^2 - 4ac\).

В нашем случае: \(a = 2\), \(b = -7\) и \(c = -4\). Вычислим дискриминант:
\[\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81.\]

4. Поскольку дискриминант положительный (\(\Delta > 0\)), уравнение имеет два различных корня. Корни могут быть найдены с использованием формулы: \(u = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).

В нашем случае:
\[u = \frac{-(-7) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 9}{4}.\]

5. Разложим полученное выражение на два корня:
\[u_1 = \frac{7 + 9}{4} = 4, \quad u_2 = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}.\]

6. Получили два значения для \(u\), но нам нужно определить значения \(x\). Для этого вспомним, что \(u = \log_{0.3}x\).

a) Подставим первое значение \(u_1 = 4\) в наше уравнение:
\(\log_{0.3}x = 4\).

Это уравнение можно решить, применив определение логарифма. Учитывая, что \(\log_ba = c\) эквивалентно \(b^c = a\), получим:
\(0.3^4 = x\).

Посчитаем значение:
\(0.3^4 = 0.0081\).

Значит, одно из решений нашего исходного уравнения - \(x = 0.0081\).

b) Теперь подставим второе значение \(u_2 = -\frac{1}{2}\) в уравнение:
\(\log_{0.3}x = -\frac{1}{2}\).

Используя определение логарифма, получаем:
\(0.3^{-\frac{1}{2}} = x\).

Вычислим значение:
\(0.3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{0.3}} \approx 1.825\).

Таким образом, второе решение уравнения равно \(x \approx 1.825\).

Таким образом, исходное логарифмическое уравнение \[2\log^2_{0.3}x - 7\log_{0.3}x - 4 = 0\] может быть записано в следующей форме:
\(x = 0.0081\) или \(x \approx 1.825\).