Яка площа квадрата ABCD, якщо площа затемненої частини дорівнює 7 см² і точка M є серединою відрізка

Для того чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать некоторые свойства квадратов. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Проведем отрезок BM и AM", а также проведем прямую, проходящую через точку A и параллельную стороне CD (это нужно для образования прямоугольника).

Шаг 2: Поскольку точка M" является серединой отрезка BM, то BM" = M"M". А также из параллельности сторон AB и CD можно вывести, что BM" = IM" (где I - пересечение прямой, проходящей через A и параллельной CD, с отрезком BM).

Шаг 3: Рассмотрим треугольник AM"I. Поскольку BM" = IM", то этот треугольник является прямоугольным со сторонами AM" и AM. Заметим, что AM = 2 * AM", так как точка M" является серединой отрезка AM, и два отрезка AM" соединяются, чтобы образовать AM. Таким образом, длина стороны AM равна 2 * AM".

Шаг 4: Вычислим площадь треугольника AM"I. Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту. В нашем случае, основание AM" равно AM/2, а высота AM" равна AM". Таким образом, площадь треугольника AM"I будет равна:

\[S = \frac{{AM"}}{2} \cdot \frac{{AM"}}{2} = \frac{{AM"^2}}{4}\]

Шаг 5: Площадь затемненной части равна 7 см². Затемненная часть состоит из квадрата AM"I и прямоугольника BMAI. Таким образом, площадь затемненной части равна сумме площадей квадрата AM"I и прямоугольника BMAI:

\[7 = \frac{{AM"^2}}{4} + \text{{площадь прямоугольника BMAI}}\]

Шаг 6: Площадь прямоугольника BMAI равняется произведению длины стороны BM и длины стороны AI. Заметим, что длина стороны BM равна 2 * BM", а длина стороны AI равна AM:

\[\text{{площадь прямоугольника BMAI}} = 2 \cdot BM" \cdot AM = 2 \cdot AM" \cdot 2 \cdot AM" = 4 \cdot AM"^2\]

Шаг 7: Теперь мы можем записать уравнение для площади затемненной части и решить его:

\[7 = \frac{{AM"^2}}{4} + 4 \cdot AM"^2\]

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[28 = AM"^2 + 16 \cdot AM"^2 = 17 \cdot AM"^2\]

Теперь разделим обе части уравнения на 17, чтобы найти значение \(AM"^2\):

\[AM"^2 = \frac{{28}}{{17}}\]

Шаг 8: Наконец, чтобы найти площадь квадрата ABCD, можно возвести \(AM"\) в квадрат и умножить на 4, так как квадрат имеет равные стороны:

\[\text{{Площадь квадрата ABCD}} = 4 \cdot AM"^2 = 4 \cdot \left(\frac{{28}}{{17}}\right)\]

Таким образом, чтобы найти площадь квадрата ABCD, нужно вычислить \(4 \cdot \left(\frac{{28}}{{17}}\right)\) и округлить результат до нужной точности.