Яка може бути мінімальна нічна температура майстерні, при якій вологість повітря утримується на рівні 50% з тем

Для розрахунку мінімальної нічної температури майстерні, при якій вологість повітря утримується на рівні 50%, необхідно врахувати властивості водяної пари та відносну вологість.

Відносна вологість (вологість повітря) вимірюється у відсотках та вказує, наскільки насиченими вологою стан повітря за певної температури. Якщо вологість досягає 100%, конденсація буде відбуватись, що означає утворення роси або інших форм вологи на поверхнях.

У цій задачі вологість повітря повинна утримуватися на рівні 50%, щоб уникнути конденсації водяної пари. Для розрахунку мінімальної температури, при якій це досягається, використаємо властивості водяної пари та формулу для відносної вологості:

\[RH = \frac{{e}}{{e_s}} \times 100\%\]

де RH - відносна вологість, e - тиск водяної пари, e_s - насичений тиск водяної пари при даній температурі. Для нашої задачі RH = 50%.

Формула для насиченого тиску водяної пари в залежності від температури називається формулою Клаузіуса-Клайперона:

\[e_s = 6.11 \times 10^{\left(\frac{{7.5T}}{{237.3 + T}}\right)}\]

де T - температура в градусах Цельсія.

Давайте підставимо значення відносної вологості у формулу і розв"яжемо рівняння для знаходження температури T:

\[50 = \frac{{e}}{{6.11 \times 10^{\left(\frac{{7.5T}}{{237.3 + T}}\right)}}} \times 100\%\]

Зробимо деякі алгебраїчні перетворення:

\[0.5 = \frac{{e}}{{6.11 \times 10^{\left(\frac{{7.5T}}{{237.3 + T}}\right)}}}\]

\[0.5 \times 6.11 \times 10^{\left(\frac{{7.5T}}{{237.3 + T}}\right)} = e\]

\[3.055 \times 10^{\left(\frac{{7.5T}}{{237.3 + T}}\right)} = e\]

Тепер ми можемо визначити значення тиску водяної пари для відносної вологості 50%. Візьмемо натуральний логарифм від обох боків рівності, щоб позбутися від експоненти:

\[\ln{(3.055 \times 10^{\left(\frac{{7.5T}}{{237.3 + T}}\right)}) = \ln{e}}\]

Розкриваємо логарифм від добутку:

\[\ln{3.055} + \ln{10^{\left(\frac{{7.5T}}{{237.3 + T}}\right)}} = \ln{e}\]

Так як \(\ln{10} = 1\), ми можемо спростити вираз:

\[\ln{3.055} + \left(\frac{{7.5T}}{{237.3 + T}}\right)\ln{10} = \ln{e}\]

\[\ln{3.055} + \frac{{7.5T}}{{237.3 + T}} = \ln{e}\]

Далі, замість використання натурального логарифму \(\ln\), використаємо логарифм за основою 10 \(\log\), враховуючи, що \(\ln{e} = 1\):

\[\log{(3.055)} + \frac{{7.5T}}{{237.3 + T}} = 1\]

Тепер знайдемо вираз для T:

\[\frac{{7.5T}}{{237.3 + T}} = 1 - \log{(3.055)}\]

\[7.5T = (1 - \log{(3.055)})(237.3 + T)\]

Відкриємо дужки:

\[7.5T = 237.3 + T - \log{(3.055)} \times 237.3 - \log{(3.055)}T\]

Розкриваємо дужки і згрупуємо подібні доданки:

\[6.5T = 237.3 - \log{(3.055)} \times 237.3\]

Тепер розв"яжемо рівняння для T:

\[T = \frac{{237.3 - \log{(3.055)} \times 237.3}}{{6.5}}\]

\[T \approx 11.08\]

Отже, мінімальна нічна температура майстерні, при якій вологість повітря утримується на рівні 50%, щоб уникнути конденсації водяної пари на металевих предметах, становить приблизно 11.08 градусів Цельсія.