Яка маса тягарця, який розташований на пружині жорсткістю 75 Н/м і здійснює коливання з амплітудою б см, якщо швидкість

Для решения этой задачи мы можем использовать законы гармонических колебаний.

Первым шагом, давайте найдем период колебаний. Период колебаний обозначается символом \(T\) и выражается через жесткость пружины \(k\) и массу тягарца \(m\) следующим образом:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Поскольку нам дана жесткость пружины \(k\) (75 Н/м) и амплитуда \(б\) (см), мы можем найти период колебаний.

Вторым шагом, мы знаем, что скорость тягарца в момент проходжения положения равновесия равна 0.5 м/с. Мы также знаем, что скорость тягарца в крайней точке колебаний (амплитуде) равна максимальной скорости, поскольку в этих точках кинетическая энергия максимальна.

Третьим шагом, мы можем использовать закон сохранения механической энергии, чтобы найти массу тягарца.

Потенциальная энергия пружины, когда тягарец находится в равновесии, равна нулю. Таким образом, полная механическая энергия тягарца в любой точке колебаний состоит только из его кинетической энергии. Механическая энергия тягарца выражается следующей формулой:

\[E = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(m\) - масса тягарца, а \(v\) - его скорость.

Мы можем записать эту формулу для двух различных точек колебаний: в положении равновесия и в крайней точке колебаний (амплитуде).

В положении равновесия, когда скорость тягарца равна 0.5 м/с, механическая энергия составляет:

\[E_1 = \frac{1}{2} m (0.5)^2\]

В крайней точке колебаний (амплитуде), когда скорость тягарца максимальна, механическая энергия составляет:

\[E_2 = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2\]

где \(v_{\text{max}}\) - максимальная скорость тягарца.

Поскольку в амплитуде тягарец имеет максимальную скорость, механическая энергия в этой точке равна кинетической энергии:

\[E_2 = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2\]

Учитывая, что \(v_{\text{max}}\) равно амплитуде \(б\) (см) умноженной на частоту \(f\) (количество колебаний в секунду, обратное значение периода), мы можем записать:

\[v_{\text{max}} = б \cdot f = б \cdot \frac{1}{T}\]

Таким образом:

\[E_2 = \frac{1}{2} m \left(б \cdot \frac{1}{T}\right)^2\]

Заметим, что \(T\) и \(k\) - это связанные значения, поскольку \(T\) выражается через \(k\) и \(m\):

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Отсюда мы можем выразить \(m\) через \(T\) и \(k\):

\[m = \frac{T^2 \cdot k}{4\pi^2}\]

Теперь мы можем применить закон сохранения механической энергии для того, чтобы найти массу тягарца. Так как механическая энергия в положении равновесия равна механической энергии в крайней точке колебаний (амплитуде), мы можем записать:

\[\frac{1}{2} m (0.5)^2 = \frac{1}{2} m \left(б \cdot \frac{1}{T}\right)^2\]

Подставим выражение для \(m\), которое мы получили ранее, и решим уравнение относительно \(T\):

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{T^2 \cdot k}{4\pi^2} \cdot (0.5)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{T^2 \cdot k}{4\pi^2} \cdot \left(б \cdot \frac{1}{T}\right)^2\]

Упростим выражение:

\[\left(\frac{T^2 \cdot k}{4\pi^2}\right) \cdot \frac{1}{4} = \left(\frac{T^2 \cdot k}{4\pi^2}\right) \cdot \left(б^2 \cdot \frac{1}{T^2}\right)\]

Отменяя сокращаемые члены, получим:

\[\frac{k}{16\pi^2} = \frac{б^2}{T^2}\]

Мы знаем, что амплитуда \(б\) и период \(T\) заданы в условии задачи. Подставим значения и решим уравнение для \(k\):

\[\frac{k}{16\pi^2} = \frac{б^2}{T^2}\]

\[k = \frac{16\pi^2 \cdot б^2}{T^2}\]

Таким образом, масса тягарца равна:

\[m = \frac{T^2 \cdot k}{4\pi^2}\]

\[m = \frac{T^2 \cdot \frac{16\pi^2 \cdot б^2}{T^2}}{4\pi^2}\]

Упростим выражение и получим ответ:

\[m = 4б^2\]

Таким образом, масса тягарца равна \(4б^2\).