Яка кількість семицифрових чисел, що кратні 5, можна створити з цифр 3,4,5,6,7,8,9, які не повторюються?

Данная задача может быть решена с помощью принципа взаимного выбора.

Нам даны цифры 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Мы хотим создать семизначные числа, которые кратны 5 и не содержат повторяющихся цифр. Давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Разместить цифру 5 на последней позиции.
Поскольку числа должны быть кратны 5, они должны заканчиваться на 5. Поэтому мы можем выбрать только одну цифру для последней позиции, и это будет 5.

Шаг 2: Выбрать оставшиеся 6 цифр.
Нам остается выбрать 6 цифр из оставшихся 7 цифр: 3, 4, 6, 7, 8 и 9. Здесь может быть использовано сочетание из 6 по 7:

\[
C_{6}^{7} = \frac{7!}{6!(7-6)!} = 7
\]

Таким образом, мы можем выбрать 6 цифр из оставшихся 7 способами.

Шаг 3: Заполнить оставшиеся позиции числа.
У нас осталось 5 позиций, и мы должны заполнить их оставшимися 6 цифрами. В каждой позиции может быть только одна цифра, и каждая из оставшихся 6 цифр может быть выбрана только один раз. Поэтому мы можем заполнить оставшиеся позиции числа 6! способами:

\[
6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720
\]

Шаг 4: Вычислить общее количество чисел.
Теперь мы можем умножить количество способов выбрать оставшиеся 6 цифр (7) на количество способов заполнить оставшиеся позиции числа (720), чтобы получить общее количество семизначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи:

\[
7 \cdot 720 = 5040
\]

Таким образом, существует 5040 семизначных чисел, которые кратны 5 и не содержат повторяющихся цифр, состоящих из цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.