Яка довжина похилої, яка утворює кут 45 з площиною, якщо її проекція на площину має довжину

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства треугольников.

Пусть у нас есть треугольник ABC, где сторона AB – это проекция похилой на плоскость, BC – это сама похилая, и угол B равен 45 градусам.

Мы знаем, что для любого треугольника верна теорема косинусов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

Где c - длина предполагаемой похилой, a и b - длины известных сторон треугольника, а C - угол между сторонами a и b.

В нашем случае, сторона AB - это проекция на плоскость, а сторона BC - сама похилая. Мы знаем, что длина проекции равна 5.

Теперь подставим известные значения в формулу:

\[5^2 = BC^2 + AB^2 - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos(45^\circ)\]

\(BC^2\) можно заменить на \(BC \cdot BC\) и \(AB^2\) можно заменить на \(AB \cdot AB\):

\[25 = BC \cdot BC + AB \cdot AB - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos(45^\circ)\]

Поскольку угол B равен 45 градусам, \(cos(45^\circ) = \frac{{\sqrt{2}}}{2}\):

\[25 = BC \cdot BC + AB \cdot AB - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2}\]

Также мы можем заметить, что BC и AB – это две стороны прямоугольного треугольника, где угол между ними равен 45 градусам. Значит, по теореме Пифагора верно, что \(BC = AB \cdot \sqrt{2}\).

Заменим BC в исходном уравнении:

\[25 = AB \cdot \sqrt{2} \cdot AB \cdot \sqrt{2} + AB \cdot AB - 2 \cdot AB \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2}\]

Упростим выражение:

\[25 = 2 \cdot AB^2 + AB^2 - AB^2\]

\[25 = 2 \cdot AB^2\]

\[AB^2 = \frac{25}{2}\]

Теперь найдем длину похилой BC, заменяя полученное значение AB в формулу:

\[BC = AB \cdot \sqrt{2}\]

\[BC = \sqrt{\frac{25}{2}} \cdot \sqrt{2}\]

\[BC = \sqrt{\frac{25}{2} \cdot 2}\]

\[BC = \sqrt{25}\]

\[BC = 5\]

Итак, длина похилой, образующей угол 45 градусов с плоскостью, равна 5.