Яка довжина меншої діагоналі паралелограма, якщо висота, проведена з вершини тупого кута, має 6 см, а сторона

Задача розв"язується за допомогою теореми синусів. Давайте намалюємо паралелограм та позначимо дані, щоб було зрозуміліше.

\[
\begin{array}{ccc}
A & -------------- & B \\
\| & & \| \\
D & -------------- & C \\
\end{array}
\]

Де:
- Сторона AB розглядається як діагональ, яку необхідно знайти.
- Висота, проведена з вершини B, позначена як BH і дорівнює 6 см.
- Гострий кут ABC дорівнює 20 градусам.

Для початку знайдемо сторону паралелограма. Так як сторона паралелограма ділиться навпіл, то можемо позначити точку E на стороні AB, де AE = EB.

\[
\begin{array}{ccccc}
A & ----------- & E & ----------- & B \\
\| & & & & \| \\
D & ----------- & H & ----------- & C \\
\end{array}
\]

Оскільки сторона паралелограма ділиться навпіл, то DE = EC. За умовою задачі, гострий кут ABC становить 20 градусів, тому гострий кут BDC також становитиме 20 градусів. Оскільки висота BH проведена з вершини B паралелограма, то трикутник BHC є прямокутним.

\[
\begin{array}{ccccc}
A & ----------- & E & ----------- & B \\
\| & & & & \| \\
D & ----------- & H & ----------- & C \\
\end{array}
\]

Згідно з теоремою синусів, можна записати наступне співвідношення:

\[
\frac{{BH}}{{\sin(\angle BHC)}} = \frac{{HC}}{{\sin(\angle B)}} = \frac{{BC}}{{\sin(\angle BCH)}}
\]

Треба визначити величину сторони BC паралелограма. Знаючи, що гострий кут BHC становить 90 градусів, а гострий кут ABC становить 20 градусів, можна визначити гострий кут BCH, віднімаючи 90 градусів від суми кутів трикутника ABC:

\[
\angle BCH = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ
\]

Тоді можемо записати:

\[
\frac{{6}}{{\sin(90^\circ)}} = \frac{{HC}}{{\sin(20^\circ)}} = \frac{{BC}}{{\sin(70^\circ)}}
\]

Оскільки \(\sin(90^\circ) = 1\), отримуємо:

\[
6 = HC \cdot \frac{{\sin(20^\circ)}}{{\sin(70^\circ)}}
\]

Таким чином, щоб знайти довжину сторони BC, ми мусимо знайти величину \(\frac{{\sin(20^\circ)}}{{\sin(70^\circ)}}\). Візьмемо калькулятор та обчислимо значення:

\[
\frac{{\sin(20^\circ)}}{{\sin(70^\circ)}} \approx 0,340
\]

Тепер ми можемо обчислити довжину сторони BC:

\[
6 = HC \cdot 0,340
\]

Ділимо обидві частини рівняння на 0,340:

\[
HC = \frac{{6}}{{0,340}} \approx 17,65
\]

Таким чином, довжина меншої діагоналі паралелограма становить приблизно 17,65 см.