Яка довжина меншої діагоналі паралелограма, якщо висота, проведена з вершини тупого кута, має 6 см, а сторона

Задача розв"язується за допомогою теореми синусів. Давайте намалюємо паралелограм та позначимо дані, щоб було зрозуміліше.

$$\begin{array}{ccc}A& --------------& B\\ \Vert & & \Vert \\ D& --------------& C\end{array}$$

Де:
- Сторона AB розглядається як діагональ, яку необхідно знайти.
- Висота, проведена з вершини B, позначена як BH і дорівнює 6 см.
- Гострий кут ABC дорівнює 20 градусам.

Для початку знайдемо сторону паралелограма. Так як сторона паралелограма ділиться навпіл, то можемо позначити точку E на стороні AB, де AE = EB.

$$\begin{array}{ccccc}A& -----------& E& -----------& B\\ \Vert & & & & \Vert \\ D& -----------& H& -----------& C\end{array}$$

Оскільки сторона паралелограма ділиться навпіл, то DE = EC. За умовою задачі, гострий кут ABC становить 20 градусів, тому гострий кут BDC також становитиме 20 градусів. Оскільки висота BH проведена з вершини B паралелограма, то трикутник BHC є прямокутним.

$$\begin{array}{ccccc}A& -----------& E& -----------& B\\ \Vert & & & & \Vert \\ D& -----------& H& -----------& C\end{array}$$

Згідно з теоремою синусів, можна записати наступне співвідношення:

$$\frac{BH}{\sin (\mathrm{\angle }BHC)}=\frac{HC}{\sin (\mathrm{\angle }B)}=\frac{BC}{\sin (\mathrm{\angle }BCH)}$$

Треба визначити величину сторони BC паралелограма. Знаючи, що гострий кут BHC становить 90 градусів, а гострий кут ABC становить 20 градусів, можна визначити гострий кут BCH, віднімаючи 90 градусів від суми кутів трикутника ABC:

$$\mathrm{\angle }BCH={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{20}^{\circ }={70}^{\circ }$$

Тоді можемо записати:

$$\frac{6}{\sin ({90}^{\circ })}=\frac{HC}{\sin ({20}^{\circ })}=\frac{BC}{\sin ({70}^{\circ })}$$

Оскільки $\sin ({90}^{\circ })=1$, отримуємо:

$$6=HC\cdot \frac{\sin ({20}^{\circ })}{\sin ({70}^{\circ })}$$

Таким чином, щоб знайти довжину сторони BC, ми мусимо знайти величину $\frac{\sin ({20}^{\circ })}{\sin ({70}^{\circ })}$. Візьмемо калькулятор та обчислимо значення:

$$\frac{\sin ({20}^{\circ })}{\sin ({70}^{\circ })}\approx 0,340$$

Тепер ми можемо обчислити довжину сторони BC:

$$6=HC\cdot 0,340$$

Ділимо обидві частини рівняння на 0,340:

$$HC=\frac{6}{0,340}\approx 17,65$$

Таким чином, довжина меншої діагоналі паралелограма становить приблизно 17,65 см.