Яка довжина меншої бічної сторони трапеції, якщо один із кутів її дорівнює 135°, середня лінія має довжину 18

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства трапеции. Во-первых, мы знаем, что в трапеции сумма длин основ равна сумме длин боковых сторон. Во-вторых, середня линия трапеции является средним геометрическим оснований.

Пусть длина меньшей основы равна \(x\) (в сантиметрах). Тогда длина большей основы будет \(8x\) (согласно условию д задачи).

Так как у нас имеется трапеция, у которой один из углов равен 135°, это означает, что другой угол трапеции будет на 180° больше (так как сумма углов трапеции равна 360°). Таким образом, второй угол будет равен 315°.

Мы можем заметить, что если мы возьмем треугольник, у которого один угол равен 135°, а другой 315°, то этот треугольник будет прямоугольным. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника.

Пусть \(a\) — это половина длины меньшей основы, а \(b\) — половина длины большей основы. Так как мы знаем, что длина середней линии равна 18 см, у нас есть следующее соотношение:

\[\frac{{a + b}}{2} = 18\]

Теперь мы можем решить это уравнение:

\[a + b = 36\]

Также у нас есть следующее соотношение между \(a\) и \(b\) из условия задачи:

\[\frac{a}{b} = \frac{1}{8}\]

Мы можем использовать эту информацию, чтобы выразить \(a\) через \(b\):

\[a = \frac{1}{8}b\]

Подставляя это выражение для \(a\) в уравнение \(a + b = 36\), мы получаем:

\[\frac{1}{8}b + b = 36\]

\[\frac{9}{8}b = 36\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение \(b\):

\[b = \frac{8}{9} \cdot 36 = 32\]

Так как \(b\) является половиной длины большей основы, то сама большая основа будет равна \(2b\):

большая основа = \(2 \cdot 32 = 64\) см

Меньшая основа будет равна \(x\), поэтому:

\(x = \frac{1}{8} \cdot\) большая основа = \(\frac{1}{8} \cdot 64 = 8\) см

Таким образом, длина меньшей боковой стороны трапеции составляет 8 см.