Яка довжина кола та площа круга, вписаного в шестикутник зі стороною довжиною 8 см? Яка буде довжина периметра

Для решения этой задачи нам понадобится знание некоторых формул и свойств геометрических фигур. Давайте рассмотрим первую часть задачи - длину окружности и площадь вписанного круга в шестиугольник.

Шестиугольник является правильным, поэтому все его стороны равны между собой. Зная сторону шестиугольника, мы можем найти длину его окружности.

Длина окружности равна \(C = 2\pi r\), где \(C\) - длина окружности, а \(r\) - радиус круга.

В данном случае, шестиугольник вписан в круг, и его сторона является диаметром. Таким образом, радиус равен половине длины стороны шестиугольника. Длина стороны шестиугольника составляет 8 см, поэтому радиус равен 4 см.

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[C = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25.13 \, \text{см}.\]

Теперь рассмотрим вторую часть задачи - длину периметра прямоугольного треугольника, описанного вокруг квадрата, который в свою очередь вписан в этот круг.

Мы знаем, что окружность с периметром равным \(P\) имеет диаметр, равный \(P\), разделенный на \(\pi\). В нашем случае, периметр круга равен \(8\pi\) см.

Квадрат вписан в этот круг, поэтому длина его диагонали равна диаметру круга. Мы можем найти длину диагонали квадрата, используя свойство прямоугольного треугольника: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Половина диагонали квадрата является катетом. Длина катета равна половине стороны квадрата, а сторона квадрата равна периметру круга, разделенному на 4, так как у нас правильный квадрат.

Длина катета составляет \(\frac{{8\pi}}{4} = 2\pi\) см.

Теперь, используя теорему Пифагора, найдем длину гипотенузы правильного треугольника:
\[a^2 + b^2 = c^2,\]
где \(a\) и \(b\) - длины катетов, а \(c\) - длина гипотенузы.

В нашем случае:
\[2\pi^2 + 2\pi^2 = c^2,\]
\[4\pi^2 = c^2.\]

Теперь найдем длину гипотенузы:
\[c = \sqrt{4\pi^2} = 2\pi.\]

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. В нашем случае, так как треугольник правильный, все его стороны равны между собой.

Периметр треугольника равен:
\[P = 3 \cdot c = 3 \cdot 2\pi = 6\pi.\]

Значение периметра треугольника составляет \(6\pi\) см, что примерно равно \(18.85\) см.