1) Определите точки экстремума и их значения функции: y = 8x^2 - x^4/4. 2) Создайте график функции y = 6x - 2x^3

1) Чтобы найти точки экстремума функции \( y = 8x^2 - \frac{{x^4}}{4} \), мы должны найти значения \( x \), при которых производная функции равна нулю. Затем мы можем использовать найденные значения \( x \) для вычисления соответствующих значений функции \( y \).

Шаг 1: Найдем производную функции \( y \) по \( x \):
\[ y" = \frac{{d}}{{dx}} (8x^2 - \frac{{x^4}}{4}) \]

Чтобы найти производную, нам понадобится знать правила дифференцирования. В данном случае, применим правило дифференцирования для суммы и разности функций, а также правило дифференцирования для степенной функции.

Производная функции \( 8x^2 \) равна \( 16x \) (применяем правило для степенной функции).
Производная функции \( -\frac{{x^4}}{4} \) равна \( -x^3 \) (применяем правило для степенной функции и замечаем, что коэффициент 4 сокращается с 1/4).

Таким образом, производная функции \( y \) равна:
\[ y" = 16x - x^3 \]

Шаг 2: Найдем значения \( x \), при которых \( y" = 0 \):
\[ 16x - x^3 = 0 \]

Для решения этого уравнения, мы вынесем общий множитель:
\[ x(16 - x^2) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \( x \): \( x = 0 \) и \( x = \pm 4 \).

Шаг 3: Используем найденные значения \( x \) для вычисления соответствующих значений функции \( y \):
Для \( x = 0 \):
\[ y = 8(0)^2 - \frac{{(0)^4}}{4} = 0 \]
Точка экстремума: (0, 0)

Для \( x = 4 \):
\[ y = 8(4)^2 - \frac{{(4)^4}}{4} = 128 - 64 = 64 \]
Точка экстремума: (4, 64)

Для \( x = -4 \):
\[ y = 8(-4)^2 - \frac{{(-4)^4}}{4} = 128 - 64 = 64 \]
Точка экстремума: (-4, 64)

Таким образом, у функции \( y = 8x^2 - \frac{{x^4}}{4} \) есть две точки экстремума: (0, 0), (4, 64) и (-4, 64), и значения функции в этих точках равны 0, 64 и 64 соответственно.

2) Чтобы создать график функции \( y = 6x - 2x^3 \), мы можем использовать координатную плоскость и нанести точки, соответствующие различным значениям x и соответствующие им значения y.

Шаг 1: Выберем несколько значений для \( x \), например: -2, -1, 0, 1, и 2.
Шаг 2: Используя выбранные значения \( x \), вычислим соответствующие значения функции \( y \):
Для \( x = -2 \):
\[ y = 6(-2) - 2(-2)^3 = -12 + 16 = 4 \]
Для \( x = -1 \):
\[ y = 6(-1) - 2(-1)^3 = -6 - (-2) = -4 \]
Для \( x = 0 \):
\[ y = 6(0) - 2(0)^3 = 0 \]
Для \( x = 1 \):
\[ y = 6(1) - 2(1)^3 = 6 - 2 = 4 \]
Для \( x = 2 \):
\[ y = 6(2) - 2(2)^3 = 12 - 16 = -4 \]

Шаг 3: Нанесем полученные пары значений (x, y) на координатную плоскость и соединим их линией, чтобы получить график функции.

Таким образом, график функции \( y = 6x - 2x^3 \) будет выглядеть как парабола, проходящая через точки (-2, 4), (-1, -4), (0, 0), (1, 4) и (2, -4).