Яка довжина хорди більшого кола, що дотикається до меншого кола і має довжину 8 см? Знайдіть площу утвореного кільця

Для решения этой задачи, давайте сначала рассмотрим некоторые свойства касательных окружностей.

Когда внешняя окружность касается внутренней окружности, линия, соединяющая точку касания с центром внешней окружности, называется радиусом внешней окружности. В данной задаче данный радиус будет равен длине хорды, которую нам нужно найти.

Чтобы найти длину данной хорды, мы должны использовать теорему пределов касательной. В данном случае, у нас есть две пары касающихся окружностей, поэтому мы можем использовать теорему о треугольнике.

Теорема пределов касательной гласит, что линия, соединяющая точки касания треугольника, образованного касательной и сегментами окружностей, делает равные углы с сегментами окружностей.

Теперь, когда у нас есть немного теории, давайте решим задачу.

Предположим, что меньшая окружность имеет радиус $r$, а большая окружность имеет радиус $R$. Дано, что длина хорды равна 8 см.

Возьмем треугольник, образованный центром большой окружности (точка $O$), соединяющим точку касания $A$ с центром большой окружности и линией, соединяющей центр большой окружности с центром меньшей окружности. Обозначим точку пересечения данной линии с этой хордой как $B$.

Так как мы знаем, что $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, то длина отрезка $OA$ равна радиусу большей окружности, или $R$, а длина отрезка $OB$ равна радиусу меньшей окружности, или $r$.

Теперь, у нас есть равнобедренный треугольник $OAB$, и мы можем использовать свойство треугольника: в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины равна сторонам, пересекающимся у вершины.

Поэтому длина отрезка $AB$ равна $2r$, поскольку это медиана, проведенная из вершины равнобедренного треугольника.

Таким образом, мы нашли длину хорды великого круга, и она равна $2r$, что равно 8 см.

Теперь мы можем перейти к следующей части задачи - нахождению площади кольца.

Площадь кольца можно найти, вычтя площадь меньшей окружности из площади большей окружности.

Площадь окружности можно найти с помощью формулы $S=\pi r^2$, где $S$ - площадь, а $r$ - радиус окружности.

Таким образом, площадь большей окружности равна $\pi R^2$, а площадь меньшей окружности равна $\pi r^2$.

Тогда площадь кольца равна:

$$S_{\text{кольца}}=\pi R^2-\pi r^2$$

Подставив значение радиуса меньшей окружности $r=\frac{2}{2}\times 4=4$ см и значение радиуса большей окружности $R=r+\frac{8}{2}=8$ см, получим:

$$S_{\text{кольца}}=\pi \cdot (8^2)-\pi \cdot (4^2)$$

$$S_{\text{кольца}}=64\pi -16\pi$$

$$S_{\text{кольца}}=48\pi$$

Таким образом, площадь утворенного кольца равна $48\pi$ квадратных сантиметров.

Надеюсь, ответ был подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут дальнейшие вопросы, не стесняйтесь задавать их.