Яка довжина хорди більшого кола, що дотикається до меншого кола і має довжину 8 см? Знайдіть площу утвореного кільця

Для решения этой задачи, давайте сначала рассмотрим некоторые свойства касательных окружностей.

Когда внешняя окружность касается внутренней окружности, линия, соединяющая точку касания с центром внешней окружности, называется радиусом внешней окружности. В данной задаче данный радиус будет равен длине хорды, которую нам нужно найти.

Чтобы найти длину данной хорды, мы должны использовать теорему пределов касательной. В данном случае, у нас есть две пары касающихся окружностей, поэтому мы можем использовать теорему о треугольнике.

Теорема пределов касательной гласит, что линия, соединяющая точки касания треугольника, образованного касательной и сегментами окружностей, делает равные углы с сегментами окружностей.

Теперь, когда у нас есть немного теории, давайте решим задачу.

Предположим, что меньшая окружность имеет радиус \(r\), а большая окружность имеет радиус \(R\). Дано, что длина хорды равна 8 см.

Возьмем треугольник, образованный центром большой окружности (точка \(O\)), соединяющим точку касания \(A\) с центром большой окружности и линией, соединяющей центр большой окружности с центром меньшей окружности. Обозначим точку пересечения данной линии с этой хордой как \(B\).

Так как мы знаем, что \(OA\) и \(OB\) являются радиусами окружности, то длина отрезка \(OA\) равна радиусу большей окружности, или \(R\), а длина отрезка \(OB\) равна радиусу меньшей окружности, или \(r\).

Теперь, у нас есть равнобедренный треугольник \(OAB\), и мы можем использовать свойство треугольника: в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины равна сторонам, пересекающимся у вершины.

Поэтому длина отрезка \(AB\) равна \(2r\), поскольку это медиана, проведенная из вершины равнобедренного треугольника.

Таким образом, мы нашли длину хорды великого круга, и она равна \(2r\), что равно 8 см.

Теперь мы можем перейти к следующей части задачи - нахождению площади кольца.

Площадь кольца можно найти, вычтя площадь меньшей окружности из площади большей окружности.

Площадь окружности можно найти с помощью формулы \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, а \(r\) - радиус окружности.

Таким образом, площадь большей окружности равна \(\pi R^2\), а площадь меньшей окружности равна \(\pi r^2\).

Тогда площадь кольца равна:

\[
S_{\text{кольца}} = \pi R^2 - \pi r^2
\]

Подставив значение радиуса меньшей окружности \(r = \frac{2}{2} \times 4 = 4\) см и значение радиуса большей окружности \(R = r + \frac{8}{2} = 8\) см, получим:

\[
S_{\text{кольца}} = \pi \cdot (8^2) - \pi \cdot (4^2)
\]

\[
S_{\text{кольца}} = 64\pi - 16\pi
\]

\[
S_{\text{кольца}} = 48\pi
\]

Таким образом, площадь утворенного кольца равна \(48\pi\) квадратных сантиметров.

Надеюсь, ответ был подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут дальнейшие вопросы, не стесняйтесь задавать их.