Як знайти площу круга, який вписаний у правильний трикутник з периметром 24√3?

Чтобы найти площадь круга, вписанного в правильный треугольник, нам нужно понять отношение между радиусом круга и стороной треугольника. Давайте начнем с рассмотрения правильного треугольника.

Правильный треугольник – это треугольник, у которого все три стороны равны друг другу и все углы равны 60 градусам.

Дано, что периметр треугольника равен 24√3. У правильного треугольника периметр равен сумме длин всех его сторон. Так как у правильного треугольника все стороны равны, мы можем найти длину одной стороны, разделив периметр на 3:

\[a = \frac{{24\sqrt{3}}}{{3}} = 8\sqrt{3}\].

Теперь нам нужно найти радиус вписанного круга.

Радиус вписанного круга в правильный треугольник может быть найден по формуле:

\[r = \frac{{a}}{{2\sqrt{3}}}\],

где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставим \(a = 8\sqrt{3}\) в формулу:

\[r = \frac{{8\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}}} = 4\].

Таким образом, радиус круга равен 4.

Теперь, чтобы найти площадь круга, мы можем использовать формулу для площади круга:

\[S = \pi \cdot r^2\],

где \(S\) - площадь и \(r\) - радиус.

Подставим \(r = 4\) в формулу:

\[S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\],

где \(\pi\) - приближенное значение числа пи (около 3.14).

Итак, площадь круга, вписанного в данный правильный треугольник, равна \(16\pi\) (или примерно 50.27, если подставить значение числа \(\pi\)).