Як порівняти доцентрові прискорення двох матеріальних точок, що рухаються по колах з радіусами r1 і r2, де r1 = 2r2

Добро пожаловать! Давайте рассмотрим вашу задачу о сравнении долгового ускорения двух материальных точек, движущихся по окружностям с радиусами \( r_1 \) и \( r_2 \), где \( r_1 = 2r_2 \), в следующих случаях:

а) Когда их скорости равны.
б) Когда их периоды одинаковы.

а) Когда скорости двух точек равны, длина окружности, по которой движется точка, пропорциональна радиусу:

\[ C = 2 \pi r \]

Скорость \( v \) определяется как отношение расстояния (\( C \)) к времени (\( T \)):

\[ v = \frac{C}{T} \]

Если скорости двух точек равны, то их окружности имеют одинаковую длину:

\[ 2\pi r_1 = 2\pi r_2 \]

Так как \( r_1 = 2r_2 \), мы можем выразить радиус \( r_1 \) через радиус \( r_2 \):

\[ 2\pi(2r_2) = 2\pi r_2 \]

\[ 4\pi r_2 = 2\pi r_2 \]

\[ r_1 = \frac{1}{2}r_2 \]

Таким образом, когда скорости двух точек одинаковы, их долговые ускорения также будут иметь соотношение \( r_1 = \frac{1}{2}r_2 \).

б) Когда периоды движения точек равны, период \( T \) определяется как время, за которое точка проходит один полный оборот по окружности. Для точки, движущейся с постоянной скоростью \( v \), период связан с окружностью радиуса \( r \) следующим образом:

\[ T = \frac{C}{v} \]

Если периоды движения двух точек равны, то их скорости будут обратно пропорциональны длинам их окружностей:

\[ \frac{C_1}{v_1} = \frac{C_2}{v_2} \]

Подставляя выражения для длины окружности (\( C \)) и скорости (\( v \)), получим:

\[ \frac{2\pi r_1}{v_1} = \frac{2\pi r_2}{v_2} \]

Дано, что \( r_1 = 2r_2 \), поэтому:

\[ \frac{2\pi(2r_2)}{v_1} = \frac{2\pi r_2}{v_2} \]

\[ \frac{4\pi r_2}{v_1} = \frac{2\pi r_2}{v_2} \]

\[ \frac{v_2}{v_1} = 2 \]

Таким образом, когда периоды движения двух точек одинаковы, их долговые ускорения также будут иметь соотношение \( \frac{v_2}{v_1} = 2 \).

В итоге, мы получили ответы на две части задачи:
а) Когда скорости точек одинаковы, долговые ускорения имеют соотношение \( r_1 = \frac{1}{2}r_2 \).
б) Когда периоды движения точек одинаковы, долговые ускорения имеют соотношение \( \frac{v_2}{v_1} = 2 \).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять и решить вашу задачу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!