Як довести, що трикутник А(4, 0, 7), В(0, 8, -1) і С(2, -2, 3) є прямокутним? Яка є площа цього трикутника?

Чтобы доказать, что треугольник А(4, 0, 7), В(0, 8, -1) и С(2, -2, 3) является прямоугольным, мы можем использовать свойство ортогональности векторов.

Для начала, найдем векторы, образованные между точками треугольника. Эти векторы можно найти, вычислив разности координат между пунктами.

Вектор AB можно получить, вычтя координаты точки A из координат точки B:
AB = B - A = (0, 8, -1) - (4, 0, 7) = (-4, 8, -8).

Вектор AC можно получить, вычтя координаты точки A из координат точки C:
AC = C - A = (2, -2, 3) - (4, 0, 7) = (-2, -2, -4).

Вектор BC можно получить, вычтя координаты точки B из координат точки C:
BC = C - B = (2, -2, 3) - (0, 8, -1) = (2, -10, 4).

Теперь проверим, являются ли эти векторы ортогональными, то есть, являются ли их скалярные произведения равными нулю.

AB * AC = (-4, 8, -8) * (-2, -2, -4) = (-4 * -2) + (8 * -2) + (-8 * -4) = 8 - 16 + 32 = 24 - 16 = 8.
AB * BC = (-4, 8, -8) * (2, -10, 4) = (-4 * 2) + (8 * -10) + (-8 * 4) = -8 - 80 - 32 = -88 - 32 = -120.
AC * BC = (-2, -2, -4) * (2, -10, 4) = (-2 * 2) + (-2 * -10) + (-4 * 4) = -4 + 20 - 16 = 16.

Так как произведение AB * AC не равно нулю, это означает, что треугольник ABC не является прямоугольным.

Далее, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона. Эта формула основана на длинах сторон треугольника.

Сначала найдем длины сторон треугольника. Длины могут быть найдены с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

AB = √((-4)^2 + 8^2 + (-8)^2) = √(16 + 64 + 64) = √144 = 12.
AC = √((-2)^2 + (-2)^2 + (-4)^2) = √(4 + 4 + 16) = √24 ≈ 4.899.
BC = √(2^2 + (-10)^2 + 4^2) = √(4 + 100 + 16) = √120 ≈ 10.954.

Теперь, зная длины сторон треугольника, мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника. Формула Герона имеет вид:

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)),

где p - полупериметр треугольника, определяемый формулой:

p = (AB + BC + AC) / 2.

Подставим значения длин сторон в формулу Герона, чтобы найти площадь треугольника:

p = (12 + 10.954 + 4.899) / 2 = 13.926.
S = √(13.926 * (13.926 - 12) * (13.926 - 10.954) * (13.926 - 4.899)) ≈ √(13.926 * 1.926 * 2.972 * 9.027) ≈ √709.1 ≈ 26.63.

Итак, площадь треугольника ABC примерно равна 26.63.