What is the value of the expression sin^2(pi+x)-2cos(240)-3sin(7pi/2)+cos^2(pi-x)?

Конечно! Давайте разберемся с этим математическим выражением по шагам.

Выражение, которое нам нужно решить, выглядит так: \(\sin^2(\pi+x)-2\cos(240)-3\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right)+\cos^2(\pi-x)\).

1. Первый шаг - упростить выражение в скобках: \(\sin^2(\pi+x)\). Здесь у нас есть синус в квадрате, и аргументом синуса является \(\pi+x\). Давайте вспомним, что это значит.

Угол \(\pi\) равен 180 градусам. Точка на графике синуса повторяет свое положение каждые 360 градусов (или 2\(\pi\) радиан). Таким образом, значение \(\sin(\pi+x)\) будет таким же, как \(\sin(180+x)\), так как \(\pi\) и 180 равны.

Вспомним также, что \(\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\). Используя это, мы можем переписать выражение в скобках следующим образом:

\(\sin^2(\pi+x) = \sin^2(180+x) = (\sin(180)\cos(x) + \cos(180)\sin(x))^2 = (-\cos(x))^2 = \cos^2(x)\).

2. Продолжим второй шаг - упрощение выражения \(\cos(240)\). Здесь у нас есть косинус угла 240 градусов. Поскольку точка на графике косинуса повторяется каждые 360 градусов, мы можем записать:

\(\cos(240) = \cos(240 - 2 \cdot 360) = \cos(240 - 720) = \cos(-480)\).

Теперь вспомним формулу: \(\cos(-x) = \cos(x)\). Это означает, что \(\cos(-480)\) равно \(\cos(480)\). Таким образом, выражение \(\cos(240)\) можно упростить до \(\cos(480)\).

3. Третий шаг - решение выражения \(\cos(480)\). Зная, что точка косинуса повторяется каждые 360 градусов, мы можем записать:

\(\cos(480) = \cos(480 - 1 \cdot 360) = \cos(480 - 360) = \cos(120)\).

Таким образом, выражение \(\cos(240)\) равно \(\cos(120)\).

4. Четвертый шаг - упрощение выражения \(\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right)\). Здесь у нас есть синус угла \(\frac{7\pi}{2}\). Давайте вспомним, что \(\frac{\pi}{2}\) равно 90 градусам, и точка синуса повторяется каждые \(2\pi\) радиан.

Таким образом, угловое значение \(\frac{7\pi}{2}\) равно 360 градусам, так как \(2\pi\) радиана соответствуют 360 градусам.

Теперь мы можем записать:

\(\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \sin(360) = \sin(360 - 1 \cdot 360) = \sin(0) = 0\).

5. Пятый шаг - упрощение выражения \(\cos^2(\pi-x)\). Здесь у нас есть косинус в квадрате, а аргументом косинуса является \(\pi-x\). По аналогии с шагом 1, мы можем записать:

\(\cos^2(\pi-x) = \cos^2(180-x) = (\cos(180)\cos(x) - \sin(180)\sin(x))^2 = (-\cos(x))^2 = \cos^2(x)\).

Итак, мы упростили каждое из выражений:
\(\sin^2(\pi+x)\) стало \(\cos^2(x)\),
\(\cos(240)\) стало \(\cos(120)\),
\(\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right)\) стало 0,
\(\cos^2(\pi-x)\) стало \(\cos^2(x)\).

Теперь, объединяя все упрощенные части, мы получаем окончательный ответ:

\(\cos^2(x) - 2\cos(120) - 3\cdot0 + \cos^2(x) = 2\cos^2(x) - 2\cos(120)\).

Пожалуйста, обратите внимание, что мы не можем точно определить числовое значение этого выражения без знания конкретного значения для переменной \(x\). Но мы можем предоставить общую формулу для решения этого выражения.

Надеюсь, что мое объяснение было подробным и понятным. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!