What is the value of ( sin^2 left(a- frac{ pi}{3} right) + 3 tan left( frac{5 pi}{4}- frac{3 pi}{2} ) if ( a= frac{2

Данное выражение можно упростить, заменив все тригонометрические функции через базовые тригонометрические функции.

Начнем с упрощения первого слагаемого: \( \sin^2\left(a-\frac{\pi}{3}\right) \)

Мы знаем, что \( \sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \), поэтому:

\[ \sin^2\left(a-\frac{\pi}{3}\right) = \sin^2 a \cos^2 \frac{\pi}{3} - 2 \sin a \cos a \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 a \sin^2 \frac{\pi}{3} \]

Так как \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) и \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то

\[ \cos^2 \frac{\pi}{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
\[ \sin^2 \frac{\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \]

Подставляя это обратно в наше уравнение, получим:

\[ \sin^2\left(a-\frac{\pi}{3}\right) = \sin^2 a \cdot \frac{1}{4} - 2 \sin a \cos a \cdot \frac{1}{2} + \cos^2 a \cdot \frac{3}{4} \]
\[ \sin^2\left(a-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4} \sin^2 a - \frac{1}{2} \sin 2a + \frac{3}{4} \cos^2 a \]

Теперь обратим внимание на второе слагаемое: \( 3\tan\left(\frac{5\pi}{4}-\frac{3\pi}{2}\) )

Сначала найдем значение тангенса \( \tan\left(\frac{5\pi}{4}-\frac{3\pi}{2}\right) = \tan\left(\frac{-\pi}{4}\right) \)

Поскольку \( \tan(-x) = -\tan(x) \), то \( \tan\left(\frac{-\pi}{4}\right) = - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 \)

Таким образом, мы получаем:

\[ 3\tan\left(\frac{5\pi}{4}-\frac{3\pi}{2}\right) = 3 \cdot (-1) = -3 \]

Теперь, если \( a=\frac{2\pi}{3} \), подставляем значения обратно в исходное уравнение:

\[ \sin^2\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right) + 3\tan\left(\frac{5\pi}{4}-\frac{3\pi}{2}\right) = \sin^2\frac{\pi}{3} -3 \]

Так как \( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то

\[ \sin^2\frac{\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \]

Подставляя это, получаем:

\[ \sin^2\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right) + 3\tan\left(\frac{5\pi}{4}-\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{4} - 3 = \frac{3}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{9}{4} \]

Следовательно, значение выражения равно \( -\frac{9}{4} \).