What is the value of sin(16) + sin(24) + sin(40), in terms of 4sin(20)cos(12)cos(8)?

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся формулой суммы синусов:

\[\sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)\]

Давайте рассмотрим каждый член в формуле и выразим его через \(4\sin(20)\cos(12)\cos(8)\).

1. Раскроем синус 16 градусов:
\[\sin(16) = \sin(8+8) = \sin(8)\cos(8) + \cos(8)\sin(8)\]

2. Раскроем синус 24 градусов:
\[\sin(24) = \sin(20+4) = \sin(20)\cos(4) + \cos(20)\sin(4)\]

3. Раскроем синус 40 градусов:
\[\sin(40) = \sin(20+20) = \sin(20)\cos(20) + \cos(20)\sin(20)\]

Теперь мы можем привести подобные слагаемые:

\[\sin(16) + \sin(24) + \sin(40) = (\sin(8)\cos(8) + \cos(8)\sin(8)) + (\sin(20)\cos(4) + \cos(20)\sin(4)) + (\sin(20)\cos(20) + \cos(20)\sin(20))\]

Далее, объединим слагаемые синусов и слагаемые косинусов:

\[\sin(16) + \sin(24) + \sin(40) = \sin(8)\cos(8) + \sin(8)\cos(8) + \sin(20)\cos(4) + \sin(20)\cos(20) + \cos(8)\sin(8) + \cos(20)\sin(20)\]

Теперь при помощи формулы синуса суммы углов:

\[\sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)\]

Мы можем преобразовать выражение:

\[\sin(16) + \sin(24) + \sin(40) = 2\sin(8)\cos(8) + 2\sin(20)\cos(20) + 2\cos(8)\sin(8)\]

Теперь мы видим, что у нас есть одинаковые слагаемые:

\[2\sin(8)\cos(8) = 4\sin(8)\cos(8)\]

Таким образом, получаем окончательный ответ:

\[\sin(16) + \sin(24) + \sin(40) = 4\sin(8)\cos(8) + 2\sin(20)\cos(20) + 2\cos(8)\sin(8)\]

Или, используя запись через \(4\sin(20)\cos(12)\cos(8)\):

\[\sin(16) + \sin(24) + \sin(40) = 4\sin(8)\cos(8) + 2\sin(20)\cos(20) + 2\cos(8)\sin(8) = 4\sin(20)\cos(12)\cos(8)\]