Как найти решение уравнения 1/х-4 -1/х+6=5/28?

Конечно, я помогу вам решить это уравнение!

Для начала, давайте упростим уравнение, чтобы избавиться от дробей. У нас есть следующее уравнение:

\[\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+6} = \frac{5}{28}\]

Чтобы избавиться от дробей вовсе, воспользуемся общим знаменателем. Общим знаменателем для дробей \(\frac{1}{x-4}\) и \(\frac{1}{x+6}\) будет \((x-4)(x+6)\). Теперь у нас есть уравнение без дробей:

\[(x+6) - (x-4) = \frac{5}{28} \cdot (x-4)(x+6)\]

Давайте раскроем скобки слева от знака равенства:

\[x + 6 - x + 4 = \frac{5}{28} \cdot (x-4)(x+6)\]

Заметим, что \(x\) и \(-x\) сокращаются, а также \(6\) и \(-4\):

\[10 = \frac{5}{28} \cdot (x-4)(x+6)\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(x\):

\[10 = \frac{5}{28} \cdot (x^2 + 2x - 24)\]

Распределим коэффициент \(\frac{5}{28}\) по всем членам в скобках:

\[10 = \frac{5}{28} \cdot x^2 + \frac{5}{28} \cdot 2x - \frac{5}{28} \cdot 24\]

Упростим выражение с коэффициентами:

\[10 = \frac{5}{28} \cdot x^2 + \frac{10}{28} \cdot x - \frac{120}{28}\]

Теперь приведем все выражения к общему знаменателю:

\[10 = \frac{5x^2 + 10x - 120}{28}\]

Умножим обе части уравнения на \(28\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[280 = 5x^2 + 10x - 120\]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\[5x^2 + 10x - 400 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое может быть решено различными способами. Давайте воспользуемся квадратным корнем:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае, коэффициенты у нас равны: \(a = 5\), \(b = 10\), и \(c = -400\). Подставим эти значения в нашу формулу и найдем \(x\):

\[x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 5 \cdot -400}}{2 \cdot 5}\]

Упростим это выражение:

\[x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 8000}}{10}\]

\[x = \frac{-10 \pm \sqrt{8100}}{10}\]

\[x = \frac{-10 \pm 90}{10}\]

Теперь найдем два возможных значения для \(x\):

\[x_1 = \frac{-10 + 90}{10} = \frac{80}{10} = 8\]

\[x_2 = \frac{-10 - 90}{10} = \frac{-100}{10} = -10\]

Итак, решением нашего уравнения являются два значения \(x\): \(x = 8\) и \(x = -10\).