Каким образом можно исследовать функцию Y=(2x-1)/(x-1)^2 и построить ее график?

Для того чтобы исследовать функцию \(Y=\frac{{2x-1}}{{(x-1)^2}}\) и построить ее график, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдем область определения функции, исключив значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю: \((x-1)^2=0\). Решая это уравнение, мы получим единственное значение \(x=1\). Следовательно, функция \(Y\) определена для всех значений \(x\), кроме \(x=1\).

2. Вычислим производную функции \(Y\) для понимания ее поведения. Для данной функции можно воспользоваться правилом дифференцирования частного и цепного правилом:

\[Y" = \frac{{(2 \cdot (x-1)^2) - ((2x-1) \cdot 2(x-1))}}{{(x-1)^4}} = \frac{{2x^2-4x+2 - 4x^2+4x-2}}{{(x-1)^4}} = \frac{{-2x^2+4x}}{{(x-1)^4}}\]

3. Найдем точки пересечения с осями координат. Для этого решим уравнения \(Y=0\) и \(x=0\). Подставляя \(Y=0\) в исходное уравнение функции, получим:

\[\frac{{2x-1}}{{(x-1)^2}} = 0\]

Получаем \(2x-1=0\) или \(x=1/2\). Следовательно, у функции есть одна точка пересечения с осью абсцисс \(x=1/2\).

4. Исследуем поведение функции около вертикальной асимптоты. Поскольку \((x-1)^2\) принимает значения близкие к нулю, когда \(x\) близко к 1, мы должны проверить, как функция ведет себя при \(x\) стремящемся к 1 и при \(x\) стремящемся к бесконечности.

- При \(x\) стремящемся к 1, мы можем рассмотреть поведение функции с помощью предела:

\[\lim_{{x \to 1}} \frac{{2x-1}}{{(x-1)^2}} = \lim_{{x \to 1}} \frac{{2(x-1)+1}}{{(x-1)^2}} = \lim_{{x \to 1}} \frac{{2}}{{x-1}} = +\infty\]

Здесь мы видим, что функция имеет вертикальную асимптоту при \(x=1\) и функция стремится к бесконечности.

- При \(x\) стремящемся к бесконечности, мы также применим предел:

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x-1}}{{(x-1)^2}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2-\frac{1}{x}}}{{(1-\frac{1}{x})^2}} = \frac{2}{1^2} = 2\]

Это означает, что функция имеет горизонтальную асимптоту при \(y=2\) и стремится к этому значению, когда значение аргумента \(x\) увеличивается до бесконечности.

5. Построим график функции. Мы можем визуализировать основные свойства функции, используя полученную информацию:

- Нарисуем график, используя вертикальную асимптоту \(x=1\) и горизонтальную асимптоту \(y=2\).
- Учтем точку пересечения с осью абсцисс \(x=1/2\).
- Обратим внимание, что при \(x<1\) функция \(Y\) положительна, а при \(x>1\) - отрицательна.
- Экстраполируем поведение функции в окрестности вертикальной асимптоты.

Таким образом, график функции \(Y=\frac{{2x-1}}{{(x-1)^2}}\) будет приблизительно выглядеть следующим образом:

\[insert\_graph\_here\]

Этот график поможет нам визуализировать основные характеристики функции и его поведение в разных точках аргумента \(x\).