Каким образом можно исследовать функцию Y=(2x-1)/(x-1)^2 и построить ее график?

Для того чтобы исследовать функцию $Y=\frac{2x-1}{(x-1{)}^2}$ и построить ее график, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдем область определения функции, исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $(x-1{)}^2=0$. Решая это уравнение, мы получим единственное значение $x=1$. Следовательно, функция $Y$ определена для всех значений $x$, кроме $x=1$.

2. Вычислим производную функции $Y$ для понимания ее поведения. Для данной функции можно воспользоваться правилом дифференцирования частного и цепного правилом:

$$Y"=\frac{(2\cdot (x-1{)}^2)-((2x-1)\cdot 2(x-1))}{(x-1{)}^4}=\frac{2x^2-4x+2-4x^2+4x-2}{(x-1{)}^4}=\frac{-2x^2+4x}{(x-1{)}^4}$$

3. Найдем точки пересечения с осями координат. Для этого решим уравнения $Y=0$ и $x=0$. Подставляя $Y=0$ в исходное уравнение функции, получим:

$$\frac{2x-1}{(x-1{)}^2}=0$$

Получаем $2x-1=0$ или $x=1/2$. Следовательно, у функции есть одна точка пересечения с осью абсцисс $x=1/2$.

4. Исследуем поведение функции около вертикальной асимптоты. Поскольку $(x-1{)}^2$ принимает значения близкие к нулю, когда $x$ близко к 1, мы должны проверить, как функция ведет себя при $x$ стремящемся к 1 и при $x$ стремящемся к бесконечности.

- При $x$ стремящемся к 1, мы можем рассмотреть поведение функции с помощью предела:

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x-1}{(x-1{)}^2}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{2(x-1)+1}{(x-1{)}^2}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{2}{x-1}=+\mathrm{\infty }$$

Здесь мы видим, что функция имеет вертикальную асимптоту при $x=1$ и функция стремится к бесконечности.

- При $x$ стремящемся к бесконечности, мы также применим предел:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x-1}{(x-1{)}^2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2-\frac{1}{x}}{(1-\frac{1}{x}{)}^2}=\frac{2}{1^2}=2$$

Это означает, что функция имеет горизонтальную асимптоту при $y=2$ и стремится к этому значению, когда значение аргумента $x$ увеличивается до бесконечности.

5. Построим график функции. Мы можем визуализировать основные свойства функции, используя полученную информацию:

- Нарисуем график, используя вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=2$.
- Учтем точку пересечения с осью абсцисс $x=1/2$.
- Обратим внимание, что при $x<1$ функция $Y$ положительна, а при $x>1$ - отрицательна.
- Экстраполируем поведение функции в окрестности вертикальной асимптоты.

Таким образом, график функции $Y=\frac{2x-1}{(x-1{)}^2}$ будет приблизительно выглядеть следующим образом:

$$insert\mathrm{\_}graph\mathrm{\_}here$$

Этот график поможет нам визуализировать основные характеристики функции и его поведение в разных точках аргумента $x$.