What is the equivalent expression for trigonometric identity (sin^2 2a - 4sin^2a) / (sin^2 2a + 4sin^2a - 4) = tan^4

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

Нам нужно найти эквивалентное выражение для данной тригонометрической идентичности: \(\frac{{\sin^2 2a - 4\sin^2a}}{{\sin^2 2a + 4\sin^2a - 4}} = \tan^4 a\)

Давайте начнем с аргументов синусов. Обратимся к формуле двойного аргумента синуса: \(\sin 2a = 2\sin a \cos a\)

Подставим это в наше выражение:

\(\frac{{(2\sin a \cos a)^2 - 4\sin^2a}}{{(2\sin a \cos a)^2 + 4\sin^2a - 4}} = \tan^4 a\)

Раскроем квадраты:

\(\frac{{4\sin^2 a \cos^2 a - 4\sin^2a}}{{4\sin^2 a \cos^2 a + 4\sin^2a - 4}} = \tan^4 a\)

Сократим на 4:

\(\frac{{\sin^2 a \cos^2 a - \sin^2a}}{{\sin^2 a \cos^2 a + \sin^2a - 1}} = \tan^4 a\)

Обратимся к тригонометрической идентичности: \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)

Подставим эту идентичность:

\(\frac{{\sin^2a (\cos^2 a - 1)}}{{\sin^2 a (\cos^2 a + 1) - 1}} = \tan^4 a\)

Упростим выражение в числителе:

\(\frac{{\sin^2a (-\sin^2 a)}}{{\sin^2 a (\cos^2 a + 1) - 1}} = \tan^4 a\)

Сфокусируемся на знаменателе. Выражение \(\sin^2 a (\cos^2 a + 1) - 1\) может быть переписано с использованием идентичности как \(\sin^2 a \sin^2 a + \cos^2 a - 1\), что дает нам \(\sin^4 a + \cos^2 a - 1\).

Заменим знаменатель на это упрощенное выражение:

\(\frac{{\sin^2a (-\sin^2 a)}}{{\sin^4 a + \cos^2 a - 1}} = \tan^4 a\)

Сосредоточимся на числителе. Заметим, что \(-\sin^2 a = -(\sin a)^2\).

Заменим числитель на это упрощенное выражение:

\(\frac{{-(\sin a)^2 \sin^2 a}}{{\sin^4 a + \cos^2 a - 1}} = \tan^4 a\)

Обратимся еще к одной тригонометрической идентичности: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Заменим \(\cos^2 a\) на \(1 - \sin^2 a\):

\(\frac{{-(\sin a)^2 \sin^2 a}}{{\sin^4 a + (1 - \sin^2 a) - 1}} = \tan^4 a\)

Упростим знаменатель:

\(\frac{{-(\sin a)^2 \sin^2 a}}{{\sin^4 a - \sin^2 a}} = \tan^4 a\)

Заметим, что \(\sin^4 a\) и \(-\sin^2 a\) можно факторизовать:

\(-(\sin a)^2 (\sin^2 a - 1) = \tan^4 a\)

Снова воспользуемся идентичностью \(\sin^2 a - \cos^2 a = -1\), чтобы заменить \(\sin^2 a - 1\) на \(-\cos^2 a\):

\(-(\sin a)^2 (-\cos^2 a) = \tan^4 a\)

Два знака минус упрощаются:

\((\sin a)^2 (\cos^2 a) = \tan^4 a\)

Используем тригонометрическую идентичность \(\tan^2 x = \frac{{\sin^2 x}}{{\cos^2 x}}\), чтобы заменить \((\sin a)^2 \) и \(\cos^2 a\):

\(\tan^2 a(\cos^2 a) = \tan^4 a\)

Упростим левую сторону:

\(\tan^2 a \cos^2 a = \tan^4 a\)

Используем определение квадрата тангенса: \(\tan^2 a = (\sec^2 a - 1)\), подставим это в уравнение:

\((\sec^2 a - 1) \cos^2 a = (\sec^2 a - 1)^2\)

Раскроем скобки и упростим:

\(\sec^2 a \cos^2 a - \cos^2 a = \sec^4 a - 2\sec^2 a + 1\)

Обратимся к определению косеканса: \(\csc^2 a = \frac{1}{{\sin^2 a}}\) и заменим \(\cos^2 a\) на \(1 - \sin^2 a\) в уравнении:

\(\sec^2 a (1 - \sin^2 a) - (1 - \sin^2 a) = \sec^4 a - 2\sec^2 a + 1\)

Раскроем скобки и упростим:

\(\sec^2 a - \sec^2 a \sin^2 a - 1 + \sin^2 a = \sec^4 a - 2\sec^2 a + 1\)

Сократим подобные члены:

\(\sin^2 a = \sec^4 a - 2\sec^2 a + 1\)

Заменим \(\sec^2 a\) на \(\frac{1}{{\cos^2 a}}\), используя определение секанса:

\(\sin^2 a = \left(\frac{1}{{\cos^2 a}}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{{\cos^2 a}}\right) + 1\)

Упростим выражение внутри скобки и возводим в квадрат:

\(\sin^2 a = \frac{1}{{\cos^4 a}} - \frac{2}{{\cos^2 a}} + 1\)

Раскроем знаменатель:

\(\sin^2 a = \frac{1 - 2\cos^2 a + \cos^4 a}{{\cos^4 a}}\)

Поделим числитель на знаменатель:

\(\sin^2 a = \frac{{(1 - \cos^2 a)^2}}{{\cos^4 a}}\)

Используем определение косинуса: \(1 - \cos^2 a = \sin^2 a\):

\(\sin^2 a = \frac{{(\sin^2 a)^2}}{{\cos^4 a}}\)

Упростим выражение:

\(\sin^2 a = \frac{{\sin^4 a}}{{\cos^4 a}}\)

Используем определение тангенса в квадрате: \(\tan^2 a = \frac{{\sin^2 a}}{{\cos^2 a}}\), подставим это в наше уравнение:

\(\tan^2 a = \frac{{\sin^4 a}}{{\cos^4 a}}\)

Возведем обе стороны уравнения в четвертую степень:

\(\tan^4 a = \left(\frac{{\sin^4 a}}{{\cos^4 a}}\right)^2\)

Упростим:

\(\tan^4 a = \frac{{\sin^8 a}}{{\cos^8 a}}\)

Таким образом, мы получили эквивалентное выражение для данной тригонометрической идентичности:

\(\frac{{\sin^2 2a - 4\sin^2a}}{{\sin^2 2a + 4\sin^2a - 4}} = \tan^4 a\)