Как можно доказать, что число 1 минус корень является иррациональным?

Чтобы доказать, что число \(1 - \sqrt{2}\) является иррациональным, мы должны предположить обратное - что это число является рациональным и может быть представлено в виде дроби \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) - целые числа, а \(b\) не равно нулю.

Допустим, число \(1 - \sqrt{2}\) является рациональным и может быть представлено в виде дроби \(\frac{a}{b}\). Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(1 - \sqrt{2})^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2\]
\[1 - 2\sqrt{2} + 2 = \frac{a^2}{b^2}\]
\[3 - 2\sqrt{2} = \frac{a^2}{b^2}\]

Теперь домножим обе части уравнения на \(b^2\) и получим:

\[3b^2 - 2b^2\sqrt{2} = a^2\]
\[3b^2 = a^2 + 2b^2\sqrt{2}\]

Из этого уравнения мы можем заключить, что \(2b^2\sqrt{2}\) - также является рациональным числом. Также можно заметить, что каждое рациональное число можно представить в виде двух рациональных чисел, умноженных на некоторый коэффициент.

Из этого мы можем сделать вывод, что \(\sqrt{2} = \frac{a^2}{2b^2}\) - также рациональное число.

Теперь мы столкнулись с противоречием. Мы предположили, что число \(1 - \sqrt{2}\) является рациональным, но это приводит к тому, что сам корень \(\sqrt{2}\) является рациональным. Однако, мы знаем, что \(\sqrt{2}\) является иррациональным числом.

Таким образом, наше предположение неверно, и число \(1 - \sqrt{2}\) является иррациональным.