What is the derivative of the function y=x^3*lnx+ln4?

Хорошо! Чтобы найти производную функции \(y = x^3 \ln(x) + \ln(4)\), нам понадобится использовать правило производной произведения функций (Производная суммы функций). Давайте проделаем работу пошагово!

1. Начнем с первого слагаемого \(y_1 = x^3 \ln(x)\). Чтобы найти производную этой функции, мы будем применять правила дифференцирования по очереди. Давайте начнем с того факта, что производная от \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).

Таким образом, производная \(x^3\) равна \(3x^{3-1} = 3x^2\).

2. Далее у нас есть функция \(\ln(x)\). Для нахождения производной этой функции будем использовать правило дифференцирования логарифма.

Правило дифференцирования логарифма гласит, что производная \(\ln(x)\) равна \(\frac{1}{x}\).

3. Теперь найдем производную первого слагаемого, используя результаты из шагов 1 и 2. Производная \(y_1\) равна:

\(\frac{d}{dx}(x^3 \ln(x)) = \frac{d}{dx} (x^3) \cdot \ln(x) + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) = 3x^2 \ln(x) + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln(x) + x^2\)

4. Теперь перейдем ко второму слагаемому \(y_2 = \ln(4)\). Здесь мы столкнемся с константой. Известно, что производная от постоянной равна нулю.

Таким образом, производная \(y_2\) равна нулю: \(\frac{d}{dx}(\ln(4)) = 0\).

5. Наконец, сложим производные полученных слагаемых, чтобы найти общую производную функции \(y\).

\(\frac{d}{dx}(x^3 \ln(x) + \ln(4)) = 3x^2 \ln(x) + x^2 + 0 = 3x^2 \ln(x) + x^2\)

Итак, производная функции \(y = x^3 \ln(x) + \ln(4)\) равна \(3x^2 \ln(x) + x^2\).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как мы получили ответ! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!