What are the values of x in the interval [-3π, -3π/2] that satisfy the equation cos2x-5√2cosx-5=0?

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово.

У нас есть уравнение: \(\cos(2x) - 5\sqrt{2}\cos(x) - 5 = 0\).

Для начала, давайте заменим переменную \(\cos(x)\) на другую переменную, например, \(t\). Пусть \(t = \cos(x)\). Тогда уравнение примет следующий вид: \(\cos(2x) - 5\sqrt{2}t - 5 = 0\).

Теперь давайте рассмотрим уравнение \(\cos(2x)\). Мы можем воспользоваться формулой двойного угла для косинуса: \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\). Подставим это значение в уравнение:

\(2\cos^2(x) - 1 - 5\sqrt{2}t - 5 = 0\).

Далее, давайте заменим \(\cos^2(x)\) на \(t^2\):

\(2t^2 - 1 - 5\sqrt{2}t - 5 = 0\).

Теперь объединим все константы в одну:

\(2t^2 - 5\sqrt{2}t - 6 = 0\).

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной \(t\). Чтобы решить его, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(at^2 + bt + c = 0\).

Применяя формулу дискриминанта к нашему уравнению, мы получаем: \(D = (-5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 50 - (-48) = 98\).

Поскольку дискриминант \(D\) положительный, у нас есть два действительных корня для переменной \(t\).

Формула для нахождения корней квадратного уравнения: \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения в нашем случае:

\(t = \frac{-(-5\sqrt{2}) \pm \sqrt{98}}{2 \cdot 2}\).

Упрощаем выражение:

\(t = \frac{5\sqrt{2} \pm \sqrt{98}}{4}\).

Теперь давайте рассмотрим отрезок [-3π, -3π/2].

Для x в этом интервале:
\(-3π \leq x \leq -\frac{3π}{2}\).

Теперь мы можем найти значения \(t\) (то есть \(\cos(x)\)) для данного интервала.

Поставим условие для t на этом интервале:
\(-1 \leq t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь мы можем применить полученные значения \(t\) к нашему уравнению:

\(\frac{5\sqrt{2} + \sqrt{98}}{4} \geq t \geq \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{98}}{4}\).

Чтобы найти значения для \(x\), давайте заменим \(t\) на \(\cos(x)\) в полученных выражениях:

\(\frac{5\sqrt{2} + \sqrt{98}}{4} \geq \cos(x) \geq \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{98}}{4}\).

Осталось найти значения \(x\) для данного интервала.

Первое уравнение:
\(\cos^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2} + \sqrt{98}}{4}\right) \geq x \geq -\frac{3π}{2}\).

Второе уравнение:
\(\cos^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2} - \sqrt{98}}{4}\right) \geq x \geq -\frac{3π}{2}\).

Таким образом, значения \(x\) в интервале [-3π, -3π/2], которые удовлетворяют данному уравнению, будут лежать между пределами:
\(\cos^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2} + \sqrt{98}}{4}\right) \leq x \leq \cos^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2} - \sqrt{98}}{4}\right)\).

Я надеюсь, полученное решение ясно и понятно. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, спросите.