Выберите верный вариант производной функции

Конечно! Давайте рассмотрим задачу о производной функции. Предоставьте функцию, для которой вы хотели бы найти производную, и я смогу дать вам максимально подробное пошаговое решение.

Например, пусть у нас есть функция \(f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 2\). Мы хотим найти производную этой функции.

Шаг 1: Для начала, нужно вспомнить правила дифференцирования. Нашей функции \(f(x)\) соответствуют следующие правила:
- Константа: если \(c\) - константа, то \(\frac{d}{dx}(c) = 0\).
- Линейная функция: если \(f(x) = ax\), где \(a\) - константа, то \(\frac{d}{dx}(ax) = a\).
- Степенная функция: если \(f(x) = x^n\), где \(n\) - любое действительное число, то \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\).
- Сумма и разность функций: если \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируемы, то \(\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx}(f(x)) + \frac{d}{dx}(g(x))\) и \(\frac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = \frac{d}{dx}(f(x)) - \frac{d}{dx}(g(x))\).

Шаг 2: Теперь мы можем применить эти правила к функции \(f(x)\), чтобы найти ее производную. Производная будет выглядеть следующим образом:
\[\frac{d}{dx}(2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) = \frac{d}{dx}(2x^3) + \frac{d}{dx}(5x^2) - \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(2).\]

Шаг 3: Теперь посчитаем производные каждого слагаемого:
\(\frac{d}{dx}(2x^3)\) - производная степенной функции. Так как \(n = 3\), то \(\frac{d}{dx}(2x^3) = 3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2\).
\(\frac{d}{dx}(5x^2)\) - также производная степенной функции. Так как \(n = 2\), то \(\frac{d}{dx}(5x^2) = 2 \cdot 5x^{2-1} = 10x\).
\(\frac{d}{dx}(3x)\) - производная линейной функции. Здесь \(a = 3\), поэтому \(\frac{d}{dx}(3x) = 3\).
\(\frac{d}{dx}(2)\) - константа. По правилу, \(\frac{d}{dx}(c) = 0\), где \(c\) - константа, поэтому \(\frac{d}{dx}(2) = 0\).

Шаг 4: Теперь объединим все производные и получим окончательный ответ:
\[\frac{d}{dx}(2x^3 + 5x^2 - 3x + 2) = 6x^2 + 10x - 3.\]

Итак, производная функции \(f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 2\) равна \(6x^2 + 10x - 3\).

Я надеюсь, что это подробное пошаговое объяснение помогло вам понять, как найти производную функции. Если у вас возникнут ещё вопросы или нужна дополнительная помощь, я всегда готов помочь!