Виявіть інтервали зростання та спадання для функцій f(x)=x⁴+4x-20 та g(x)=8-4x-x³

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания для функций \(f(x) = x^4 + 4x - 20\) и \(g(x) = 8 - 4x - x^3\), нам нужно проанализировать их производные.

Причем, интервал возрастания функции соответствует значениям \(x\), при которых её производная положительна (\(f"(x) > 0\)), а интервал убывания - значениям \(x\), при которых производная отрицательна (\(f"(x) < 0\)).

Начнем с функции \(f(x) = x^4 + 4x - 20\). Сначала найдем ее производную, применяя правило дифференцирования сложной функции и правило степенной функции:

\[f"(x) = 4x^3 + 4.\]

Теперь определим, когда производная положительна и когда она отрицательна:

\[4x^3 + 4 > 0.\]

Вычтем 4 с обеих сторон и разделим на 4:

\[x^3 + 1 > 0.\]

Теперь решим это неравенство:

\[x^3 > -1.\]

Так как \(-1\) - константа, то неравенство будет выполняться для всех значений \(x\). Это означает, что функция \(f(x) = x^4 + 4x - 20\) возрастает на всей числовой прямой.

Теперь проделаем то же самое для функции \(g(x) = 8 - 4x - x^3\). Найдем ее производную:

\[g"(x) = -3x^2 - 4.\]

Определим интервалы возрастания и убывания:

\[-3x^2 - 4 > 0.\]

Вычтем 4 с обеих сторон и разделим на \(-3\):

\[x^2 > \frac{4}{3}.\]

Так как \(\frac{4}{3}\) - положительная константа, неравенство будет выполняться, когда \(x\) будет меньше отрицательного корня из \(\frac{4}{3}\) или больше положительного корня из \(\frac{4}{3}\). После вычислений получим:

\[-\sqrt{\frac{4}{3}} < x < \sqrt{\frac{4}{3}}.\]

Это означает, что функция \(g(x) = 8 - 4x - x^3\) возрастает на интервале \(-\sqrt{\frac{4}{3}} < x < \sqrt{\frac{4}{3}}\) и убывает за его пределами.

Итак, интервалы возрастания и убывания для функций \(f(x) = x^4 + 4x - 20\) и \(g(x) = 8 - 4x - x^3\) следующие:

Для \(f(x)\): Функция возрастает на всей числовой прямой (\(-\infty < x < \infty\)).

Для \(g(x)\): Функция возрастает на интервале \(-\sqrt{\frac{4}{3}} < x < \sqrt{\frac{4}{3}}\) и убывает за его пределами.