Використовуючи векторний метод, покажіть, що діагоналі прямокутника мають однакову довжину

Конечно! Давайте решим эту задачу, используя векторный метод.

Для начала, давайте представим, что у нас есть прямоугольник ABCD. Длины сторон прямоугольника обозначим как a и b. Пусть вектор AB будет обозначаться как \(\vec{AB}\), вектор BC - \(\vec{BC}\), вектор CD - \(\vec{CD}\) и вектор DA - \(\vec{DA}\).

На самом деле, чтобы показать, что диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину, нам нужно доказать, что векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) равны по модулю.

Давайте рассмотрим вектор \(\vec{AC}\). Он может быть представлен в виде суммы векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\), то есть:
\(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\)

Теперь рассмотрим вектор \(\vec{BD}\). Он может быть представлен в виде суммы векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{AD}\), то есть:
\(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}\)

Поскольку прямоугольник ABCD является прямоугольником, то стороны AD и BC параллельны, а стороны AB и CD тоже параллельны. Это означает, что векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{AD}\) тоже параллельны, и векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) также параллельны.

Теперь обратимся к модулю векторов. Модуль вектора - это его длина. По определению модуля, можем выразить длину вектора \(\vec{AB}\) как \(\left|\vec{AB}\right| = AB\). Аналогично, длина вектора \(\vec{AC}\) будет \(\left|\vec{AC}\right| = AC\), длина вектора \(\vec{BD}\) - \(\left|\vec{BD}\right| = BD\).

Теперь, чтобы доказать, что диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину, нам нужно доказать, что модули векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) равны.

Давайте заменим векторы в полученных выше уравнениях и увидим, что:

\(\left|\vec{AC}\right| = \left|\vec{AB} + \vec{BC}\| = \left|\vec{AB} + (-\vec{BA})\| = \left|\vec{AB} - \vec{BA}\right| = \left|\vec{AB} + \vec{AD}\right| = \left|\vec{BD}\right|\)

Мы видим, что модуль вектора \(\vec{AC}\) равен модулю вектора \(\vec{BD}\), и поэтому длины диагоналей прямоугольника ABCD равны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину, используя векторный метод.